pytorch学习笔记（三十七）：Adam
文章目录
- Adam算法
- 1. 算法
- 2. 从零开始实现
- 3. 简洁实现
- 小结
Adam算法
Adam算法在RMSProp算法基础上对小批量随机梯度也做了指数加权移动平均 [1]。下面我们来介绍这个算法。
所以Adam算法可以看做是RMSProp算法与动量法的结合。
1. 算法
Adam算法使用了动量变量 v t \boldsymbol{v}_t vt和RMSProp算法中小批量随机梯度按元素平方的指数加权移动平均变量 s t \boldsymbol{s}_t st，并在时间步0将它们中每个元素初始化为0。给定超参数 0 ≤ β 1 < 1 0 \leq \beta_1 < 1 0≤β1<1（算法作者建议设为0.9），时间步 t t t的动量变量 v t \boldsymbol{v}_t vt即小批量随机梯度 g t \boldsymbol{g}_t gt的指数加权移动平均：
v t ← β 1 v t − 1 + ( 1 − β 1 ) g t . \boldsymbol{v}_t \leftarrow \beta_1 \boldsymbol{v}_{t-1} + (1 - \beta_1) \boldsymbol{g}_t. vt←β1vt−1+(1−β1)gt.
和RMSProp算法中一样，给定超参数 0 ≤ β 2 < 1 0 \leq \beta_2 < 1 0≤β2<1（算法作者建议设为0.999），
将小批量随机梯度按元素平方后的项 g t ⊙ g t \boldsymbol{g}_t \odot \boldsymbol{g}_t gt⊙gt做指数加权移动平均得到 s t \boldsymbol{s}_t st：
s t ← β 2 s t − 1 + ( 1 − β 2 ) g t ⊙ g t . \boldsymbol{s}_t \leftarrow \beta_2 \boldsymbol{s}_{t-1} + (1 - \beta_2) \boldsymbol{g}_t \odot \boldsymbol{g}_t. st←β2st−1+(1−β2)gt⊙gt.
由于我们将 v 0 \boldsymbol{v}_0 v0和 s 0 \boldsymbol{s}_0 s0中的元素都初始化为0，
在时间步 t t t我们得到 v t = ( 1 − β 1 ) ∑ i = 1 t β 1 t − i g i \boldsymbol{v}_t = (1-\beta_1) \sum_{i=1}^t \beta_1^{t-i} \boldsymbol{g}_i vt=(1−β1)∑i=1tβ1t−igi。将过去各时间步小批量随机梯度的权值相加，得到 ( 1 − β 1 ) ∑ i = 1 t β 1 t − i = 1 − β 1 t (1-\beta_1) \sum_{i=1}^t \beta_1^{t-i} = 1 - \beta_1^t (1−β1)∑i=1tβ1t−i=1−β1t。需要注意的是，当 t t t较小时，过去各时间步小批量随机梯度权值之和会较小。例如，当 β 1 = 0.9 \beta_1 = 0.9 β1=0.9时， v 1 = 0.1 g 1 \boldsymbol{v}_1 = 0.1\boldsymbol{g}_1 v1=0.1g1。为了消除这样的影响，对于任意时间步 t t t，我们可以将 v t \boldsymbol{v}_t vt再除以 1 − β 1 t 1 - \beta_1^t 1−β1t，从而使过去各时间步小批量随机梯度权值之和为1。这也叫作偏差修正。在Adam算法中，我们对变量 v t \boldsymbol{v}_t vt和 s t \boldsymbol{s}_t st均作偏差修正：
v ^ t ← v t 1 − β 1 t , \hat{\boldsymbol{v}}_t \leftarrow \frac{\boldsymbol{v}_t}{1 - \beta_1^t}, v^t←1−β1tvt,
s ^ t ← s t 1 − β 2 t . \hat{\boldsymbol{s}}_t \leftarrow \frac{\boldsymbol{s}_t}{1 - \beta_2^t}. s^t←1−β2tst.
接下来，Adam算法使用以上偏差修正后的变量 v ^ t \hat{\boldsymbol{v}}_t v^t和 s ^ t \hat{\boldsymbol{s}}_t s^t，将模型参数中每个元素的学习率通过按元素运算重新调整：
g t ′ ← η v ^ t s ^ t + ϵ , \boldsymbol{g}_t' \leftarrow \frac{\eta \hat{\boldsymbol{v}}_t}{\sqrt{\hat{\boldsymbol{s}}_t} + \epsilon}, gt′←s^t+ϵηv^t,
其中 η \eta η是学习率， ϵ \epsilon ϵ是为了维持数值稳定性而添加的常数，如 1 0 − 8 10^{-8} 10−8。和AdaGrad算法、RMSProp算法以及AdaDelta算法一样，目标函数自变量中每个元素都分别拥有自己的学习率。最后，使用 g t ′ \boldsymbol{g}_t' gt′迭代自变量：
x t ← x t − 1 − g t ′ . \boldsymbol{x}_t \leftarrow \boldsymbol{x}_{t-1} - \boldsymbol{g}_t'. xt←xt−1−gt′.
2. 从零开始实现
我们按照Adam算法中的公式实现该算法。其中时间步 t t t通过hyperparams参数传入adam函数。
%matplotlib inline
import math
import torch
from torch import nn
import time
import sys
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
sys.path.append("..")
import d2lzh_pytorch as d2l
features, labels = d2l.get_data_ch7()
def init_adam_states():
v_w, v_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32)
s_w, s_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32)
return ((v_w, s_w), (v_b, s_b))
def adam(params, states, hyperparams):
beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-6
for p, (v, s) in zip(params, states):
v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad.data
s[:] = beta2 * s + (1 - beta2) * p.grad.data**2
v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
p.data -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (torch.sqrt(s_bias_corr) + eps)
hyperparams['t'] += 1
def train_2d(trainer):
x1, x2, s1, s2 = -5, -2, 0, 0
results = [(x1, x2)]
for i in range(20):
x1, x2, s1, s2 = trainer(x1, x2, s1, s2)
results.append((x1, x2))
print('epoch %d, x1 %f, x2 %f' % (i + 1, x1, x2))
return results
def show_trace_2d(f, results):
plt.plot(*zip(*results), '-o', color='#ff7f0e')
x1, x2 = np.meshgrid(np.arange(-5.5, 1.0, 0.1), np.arange(-3.0, 1.0, 0.1))
plt.contour(x1, x2, f(x1, x2), colors='#1f77b4')
plt.xlabel('x1')
plt.ylabel('x2')
定义训练模型
def linreg(X, w, b):
return torch.mm(X, w) + b
def squared_loss(y_hat, y):
# 注意这里返回的是向量, 另外, pytorch里的MSELoss并没有除以 2
return ((y_hat - y.view(y_hat.size())) ** 2) / 2
def train_ch7(optimizer_fn, states, hyperparams, features, labels,
batch_size=10, num_epochs=2):
# 初始化模型
net, loss = linreg, squared_loss
w = torch.nn.Parameter(torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, size=(features.shape[1], 1)), dtype=torch.float32),
requires_grad=True)
b = torch.nn.Parameter(torch.zeros(1, dtype=torch.float32), requires_grad=True)
def eval_loss():
return loss(net(features, w, b), labels).mean().item()
ls = [eval_loss()]
data_iter = torch.utils.data.DataLoader(
torch.utils.data.TensorDataset(features, labels), batch_size, shuffle=True)
for _ in range(num_epochs):
start = time.time()
for batch_i, (X, y) in enumerate(data_iter):
l = loss(net(X, w, b), y).mean() # 使用平均损失
# 梯度清零
if w.grad is not None:
w.grad.data.zero_()
b.grad.data.zero_()
l.backward()
optimizer_fn([w, b], states, hyperparams) # 迭代模型参数
if (batch_i + 1) * batch_size % 100 == 0:
ls.append(eval_loss()) # 每100个样本记录下当前训练误差
# 打印结果和作图
print('loss: %f, %f sec per epoch' % (ls[-1], time.time() - start))
plt.plot(np.linspace(0, num_epochs, len(ls)), ls)
plt.xlabel('epoch')
plt.ylabel('loss')
使用学习率为0.01的Adam算法来训练模型。
train_ch7(adam, init_adam_states(), {'lr': 0.01, 't': 1}, features, labels)
输出：
loss: 0.245370, 0.065155 sec per epoch
3. 简洁实现
通过名称为“Adam”的优化器实例，我们便可使用PyTorch提供的Adam算法。
def train_pytorch_ch7(optimizer_fn, optimizer_hyperparams, features, labels,
batch_size=10, num_epochs=2):
# 初始化模型
net = nn.Sequential(
nn.Linear(features.shape[-1], 1)
)
loss = nn.MSELoss()
optimizer = optimizer_fn(net.parameters(), **optimizer_hyperparams)
def eval_loss():
return loss(net(features).view(-1), labels).item() / 2
ls = [eval_loss()]
data_iter = torch.utils.data.DataLoader(
torch.utils.data.TensorDataset(features, labels), batch_size, shuffle=True)
for _ in range(num_epochs):
start = time.time()
for batch_i, (X, y) in enumerate(data_iter):
# 除以2是为了和train_ch7保持一致, 因为squared_loss中除了2
l = loss(net(X).view(-1), y) / 2
optimizer.zero_grad()
l.backward()
optimizer.step()
if (batch_i + 1) * batch_size % 100 == 0:
ls.append(eval_loss())
# 打印结果和作图
print('loss: %f, %f sec per epoch' % (ls[-1], time.time() - start))
plt.plot(np.linspace(0, num_epochs, len(ls)), ls)
plt.xlabel('epoch')
plt.ylabel('loss')
d2l.train_pytorch_ch7(torch.optim.Adam, {'lr': 0.01}, features, labels)
输出：
loss: 0.242066, 0.056867 sec per epoch
小结
- Adam算法在RMSProp算法的基础上对小批量随机梯度也做了指数加权移动平均。
- Adam算法使用了偏差修正。