常见数据结构(一)-栈,队列,堆,哈希表

常见数据结构(一)-栈,队列,堆,哈希表

标签： algorithms

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本文介绍几种常见的数据结构:栈、队列、堆、哈希表，等等。

写在前面

• 本文所有图片均截图自coursera上普林斯顿的课程《Algorithms, Part I》中的Slides
• 相关命题的证明可参考《算法（第4版）》
• 源码可在官网下载,也可以在我的github仓库 algorithms-learning下载，已经使用maven构建
• 仓库下载：git clone [email protected]:brianway/algorithms-learning.git

Stacks(栈)

LIFO(后进先出):last in first out.

• 使用linked-list实现

保存指向第一个节点的指针，每次从前面插入／删除节点。

以字符串栈为例，示例代码：

public class LinkedStackOfStrings {
    private Node first = null;

    private class Node {
        String item;
        Node next;
    }

    public boolean isEmpty() {
        return first == null;
    }

    public void push(String item) {
        Node oldfirst = first;
        first = new Node();
        first.item = item;
        first.next = oldfirst;
    }

    public String pop() {
        String item = first.item;
        first = first.next;
        return item;
    }
}

• 使用数组实现

使用数组来存储栈中的项

public class FixedCapacityStackOfStrings {
    private String[] s;
    private int N = 0;

    public FixedCapacityStackOfStrings(int capacity) {
        s = new String[capacity];
    }

    public boolean isEmpty() {
        return N == 0;
    }

    public void push(String item) {
        s[N++] = item;
    }

    public String pop() {
        String item = s[--N];
        s[N] = null;
        return item;
    }
}

上面的实现会有几个问题：

1. 从空栈pop会抛出异常
2. 插入元素过多会超出数组上界

这里重点解决第二个问题，resizing arrays.一个可行的方案是: 当数组满的时候，数组大小加倍；当数组是1/4满的时候，数组大小减半。 这里不是在数组半满时削减size,这样可以避免数组在将满未满的临界点多次push-pop-push-pop操作造成大量的数组拷贝操作。

插入N个元素，N + (2 + 4 + 8 + ... + N) ~ 3N。

• N:1 array access per push
• (2 + 4 + 8 + … + N):k array accesses to double to size k (ignoring cost to create new array)

由于resize操作不是经常发生，所以均摊下来，平均每次push/pop操作的还是常量时间(constant amortized time).

Queues(队列)

FIFO(先进先出):first in first out.

• 使用linked-list实现

保存指向首尾节点的指针，每次从链表尾插入，从链表头删除。

public class LinkedQueueOfStrings {
    private Node first, last;

    private class Node {  
        /* same as in StackOfStrings */
    }

    public boolean isEmpty() {
        return first == null;
    }

    public void enqueue(String item) {
        Node oldlast = last;
        last = new Node();
        last.item = item;
        last.next = null;
        if (isEmpty()) {
            first = last;
        } else {
            oldlast.next = last;
        }
    }

    public String dequeue() {
        String item = first.item;
        first = first.next;
        if (isEmpty()) last = null;
        return item;
    }
}

• 使用数组实现

・Use array q[] to store items in queue.
・enqueue(): add new item at q[tail].
・dequeue(): remove item from q[head].
・Update head and tail modulo the capacity.
・Add resizing array.

Priority Queues

Collections. Insert and delete items.

• Stack. Remove the item most recently added.
• Queue. Remove the item least recently added. Randomized queue. Remove a random item.
• Priority queue. Remove the largest (or smallest) item.

unordered array 实现

public class UnorderedMaxPQ<Key extends Comparable<Key>> {
    private Key[] pq;   // pq[i] = ith element on pq
    private int N;      // number of elements on pq

    public UnorderedMaxPQ(int capacity) {
        pq = (Key[]) new Comparable[capacity];
    }

    public boolean isEmpty() {
        return N == 0;
    }

    public void insert(Key x) {
        pq[N++] = x;
    }

    public Key delMax() {
        int max = 0;
        for (int i = 1; i < N; i++)
            if (less(max, i)) max = i;

        exch(max, N - 1);
        return pq[--N];
    }
}

Binary Heaps(二叉堆)

使用数组来表示一个二叉堆。根节点索引从1开始。索引对应在树中的位置，最大的键值是a[1],同时也是二叉树的根节点。

• Parent’s key no smaller than children’s keys
• Indices start at 1.
• Parent of node at k is at k/2.
• Children of node at k are at 2k and 2k+1.

上浮和下沉

有两种情况会触发节点移动：

1. 子节点的键值变为比父节点大
2. 父节点的键值变为比子节点（一个或两个）小

而 要消除这种违反最大堆定义的结构，就需要进行节点移动和交换， 使之满足父节点键值不小于两个子节点 。对应的操作分别是 上浮 和 下沉

• 上浮：子节点key比父节点大
  
  • Exchange key in child with key in parent.
  • Repeat until heap order restored.
• 下沉：父节点key比子节点（one or both）小
  
  • Exchange key in parent with key in larger child.
  • Repeat until heap order restored

/* 上浮 */
private void swim(int k) {
    while (k > 1 && less(k / 2, k)) {
        exch(k, k / 2);
        k = k / 2;
    }
}

/* 下沉 */
private void sink(int k) {
   while (2 * k <= N) {
       int j = 2 * k;
       if (j < N && less(j, j + 1)) j++;
       if (!less(k, j)) break;
       exch(k, j);
       k = j;

   }
}

插入和删除

所有操作（插入和删除）都保证在log N 时间内。

• 插入：二叉堆的插入操作比较简单，把节点加在数组尾部，然后上浮即可。
• 删除最大：二叉堆的删除则是把根节点和末尾的节点交换，然后下沉该节点即可。

/* 插入 */
public void insert(Key x){
  pq[++N] = x;
  swim(N);
}

/* 删除 */
public Key delMax(){
  Key max = pq[1];
  exch(1, N--);
  sink(1);
  pq[N+1]=null;
  return max;
}

最后，堆中的键值是不能变的，即Immutable.不然就不能保证父节点不小于子节点。

Symbol Tables

键值对的抽象.其中键一般使用immutable的类型，值是任何普通类型。

关于比较，所有的java类都继承了equals()方法，要求对于引用x,y,z

• Reflexive: x.equals(x) is true.
• Symmetric: x.equals(y) iff y.equals(x).
• Transitive: if x.equals(y) and y.equals(z), then x.equals(z).
• Non-null: x.equals(null) is false.

对于用户自定义的类型，一般按如下流程实现equals()方法:

• Optimization for reference equality.
• Check against null.
• Check that two objects are of the same type and cast.
• Compare each significant field:
  
  • if field is a primitive type, use ==
  • if field is an object, use equals().[apply rule recursively]
  • if field is an array, apply to each entry.[alternatively, use Arrays.equals(a, b) or Arrays.deepEquals(a, b),but not a.equals(b)]

两种实现的数据结构：

1. 无序链表：Maintain an (unordered) linked list of key-value pairs.
2. 有序数组：Maintain an ordered array of key-value pairs.

在有序数组进行查找时使用二分查找。两种方式的对比如下图：

Hash Tables(哈希表)

上面几种数据结构都是通过遍历或者二分查找去搜寻某个元素，而哈希表则是通过一个key-indexed table来存储其中的项，即“索引”是“键”的一个函数。换句话说，哈希是通过定义一种函数/计算方法，把键直接映射成一个哈希值（再通过取余操作换算成数组的下标索引），从而定位元素，而避免耗时的逐个比较和遍历的操作。

• Hash code:An int between -2^31 and 2^31 - 1.
• Hash function. An int between 0 and M - 1 (for use as array index).

//这里hashCode可能为负，且-2^31取绝对值会溢出，所以要“位与”
private int hash(Key key){
    return (key.hashCode() & 0x7fffffff) % M;  
}

所有的java类均继承了hashCode()方法来计算哈希值, 返回一个32-bit的int.默认实现是返回该对象的内存地址。对常用的类型有自己的实现，以java的String类为例子：

 public int hashCode() {
    int h = hash;
    if (h == 0 && value.length > 0) {
        char val[] = value;

        for (int i = 0; i < value.length; i++) {
            h = 31 * h + val[i];
        }
        hash = h;
    }
    return h;
}

hash code design.”Standard” recipe for user-defined types：

• Combine each significant field using the 31x + y rule.
• If field is a primitive type, use wrapper type hashCode().
• If field is null, return 0.
• If field is a reference type, use hashCode().[applies rule recursively]
• If field is an array, apply to each entry.[or use Arrays.deepHashCode()]

当然，这种映射并不能保证是一对一的，所以一定会出现多个键映射到同一个哈希值的尴尬情况（尤其是对数组的size取余操作后,映射到同一数组下标），即哈希冲突，这是就需要一些方法来解决。这里介绍两种常用的方法：

• separate chaining
• linear probing

separate chaining

Use an array of M < N linked lists.

• 哈希：将key映射到0 ~ M-1 之间的一个整数i
• 插入：将值插在第i个链的前端
• 查找：只需遍历第i个链

linear probing

开放地址：如果发生冲突，将值放入下一个空的位置.(数组尺寸 M 必须比键值对的数目 N 要多.)

• 哈希：将key映射到 0 ~ M-1 之间的一个整数i
• 插入：如果数组索引为 i 的位置为空，则把值放入，否则依次尝试 i+1,i+2等索引，直到有空的
• 查找：先找索引 i，如果被占用且没匹配，则依次尝试i+1, i+2,等等