空间谱专题02:波束形成(Beamforming)

作者:桂。

时间:2017-08-22  10:56:45

链接:http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/7410846.html 


前言

本文主要记录常见的波束形成问题,可以说空间谱估计是波束形成基础上发展而来,在系统论述空间谱之前,有必要分析一些Beamforming的基本特性。

一、波束形成模型

以均匀线阵为例:

空间谱专题02:波束形成(Beamforming)_第1张图片

按窄带模型分析:

空间谱专题02:波束形成(Beamforming)_第2张图片

可以写成矩阵形式:

空间谱专题02:波束形成(Beamforming)_第3张图片

其中方向矢量或导向矢量(Steering Vector),波束形成主要是针对各个接收信号X进行权重相加。

 

二、波束形成基本理论

  A-波束形成

权重相加:

不同的波束形成,就是不同的权重W。

  B-瑞利限

以均匀直角窗为例:

空间谱专题02:波束形成(Beamforming)_第4张图片

得出方向图:

空间谱专题02:波束形成(Beamforming)_第5张图片

主瓣宽度正比于孔径宽度的倒数:

空间谱专题02:波束形成(Beamforming)_第6张图片

因为孔径的限制,造成波束宽度存在限制(不会无限制小),近而落在主瓣波束内部的两个信号便会混在一起而分不清,这就存在瑞利限的问题。

直角窗主瓣宽度为:

其中λ为入射波长,theta1为入射角,Md为阵列孔径。

  C-常见窗函数

 对于空间不同的阵列信号,类似采样分析(空域采样),自然可以加窗进行处理,不加窗可以认为是直角窗,另外也可以选择汉明窗、hanning窗等等。

加窗可以改变波束宽度以及主瓣、副瓣等特性,可以借助MATLAB 的wvtool观察不同窗函数特性。

N = 192;
w = window(@blackmanharris,N);
wvtool(w)

空间谱专题02:波束形成(Beamforming)_第7张图片

  D-DFT实现

 阵列的采样间隔是相位信息:

这就类似于频域变换,只不过这里的相位信息:对应的不是频率,而是不同位置,可以看作空域的变换。

分别对阵列信号进行直接加权、加窗、DFT实现:

function x = StatSigGenerate(M,N,DOA,SNR,SignalMode,lambda,d)

ld = length(DOA);
if strcmp(SignalMode,'Independent')
    st = randn(ld,N)+1j*randn(ld,N);
elseif strcmp(SignalMode,'Coherent')
    st = [];
    st1 = randn(1,N)+1j*randn(1,N);
    for k = 1:ld
        st = [st;st1];
    end
end
st = st/sqrt(trace(st*st'/N)/ld);
nt = randn(M,N)+1j*randn(M,N);
nt = nt/sqrt(trace(nt*nt'/N)/M);

SNR = ones(1,ld)*SNR;
Amp = diag(10.^(SNR/20));
A = exp(1j*2*pi*[0:M-1]'*sind(DOA)*d/lambda);
x = A*Amp*st+nt;
end

  主程序:

clc;clear all;close all
M = 32;
DOA = [-30 30];
SNR = 10;
theta = -90:.1:90;
len = length(theta);
SignalMode = 'Independent';
fc = 1e9;
c = 3e8;
lambda = c/fc;
d = lambda/2;
N = 100;%snap points
x = StatSigGenerate(M,N,DOA,SNR,SignalMode,lambda,d);
R_hat = 1/N*x*x';
output = zeros(3,len);
for i = 1:len
    a = exp(1j*2*pi*[0:M-1]'*sind(theta(i))*d/lambda);
    W = (inv(R_hat)*a)*(1./(a'*inv(R_hat)*a));
    output(1,i) = mean(abs(W'*x),2);
    output(2,i) = 1./(a'*inv(R_hat)*a);
    output(3,i) = a'*x*ones(N,1);
end
output = abs(output);
output = output - repmat(mean(output.')',1,size(output,2));
output = output./repmat(max(output.')',1,size(output,2));
%plot
plot(theta,output(1,:),'k',theta,output(2,:),'r--',theta,output(3,:),'b');
legend('MVDR 波束','MVDR 谱','固定权重 波束');

  对应结果图:

空间谱专题02:波束形成(Beamforming)_第8张图片

  E-自适应波束形成

 直接相加也好、加窗也好,都是固定的权重系数,没有考虑到信号本身的特性,所以如果结合信号本身去考虑就形成了一系列算法:自适应波束形成。

这类步骤通常是:

1)给定准则函数;

2)对准则函数进行求解。

准则常用的有:信噪比(snr)最大准则、均方误差最小准则(MSE)、线性约束最小方差准则(LCMV)、最大似然准则(ML)等等;

求解的思路大体分两类:1)直接求解,例如MVDR中的求解;2)也可以利用梯度下降的思想,如随机梯度下降、批量梯度下降、Newton-raphson等方法,不再详细说明。

以MVDR举例:

空间谱专题02:波束形成(Beamforming)_第9张图片

这里采用直接求解的思路:

将求解的W带入

 即可得到波束形成。

  F-栅瓣现象

 栅瓣是一类现象,对应干涉仪就是相位模糊(相位超过2*pi),对应到Beamforming就是栅瓣问题,具体不再论述,给出现象(同样的波束,在不同的位置分别出现):

空间谱专题02:波束形成(Beamforming)_第10张图片

  G-波束形成与空间谱

 之前分析过MVDR的方法,得到的输出(含有约束的最小均方误差准则)为:

空间谱专题02:波束形成(Beamforming)_第11张图片

有时候也称这个输出为空间谱,其实就是|y2(t)|,但这个与MUSIC等算法的谱还不是一回事,只是有时候也被称作空间谱,所以这里多啰嗦几句,分析这个说法的来源。

已知N个采样点的信号,对其进行傅里叶变换:

进一步得到功率谱密度:

根据上文的分析:y(t)其实对应的就是空域变换(可借助DFT实现),类比于时频处理中的频域变换。而这里又可以看到频域变换的平方/长度,对应就是功率谱,这是频域的分析。

对应到空域,自然就是|y2(t)|/长度,对应空间谱,长度只影响比例关系,所以MVDR的最小方差输出被称作:空间谱也是合适的。

 给出一个测试(这里如果),对比MVDR的y(t)、MVDR功率谱以及普通Beamforming的结果:

clc;clear all;close all
M = 32;
DOA = [-30 30];
SNR = 10;
theta = -90:.1:90;
len = length(theta);
SignalMode = 'Independent';
fc = 1e9;
c = 3e8;
lambda = c/fc;
d = lambda/2;
N = 100;%snap points
x = StatSigGenerate(M,N,DOA,SNR,SignalMode,lambda,d);
R_hat = 1/N*x*x';
output = zeros(3,len);
for i = 1:len
    a = exp(1j*2*pi*[0:M-1]'*sind(theta(i))*d/lambda);
    W = (inv(R_hat)*a)*(1./(a'*inv(R_hat)*a));
    output(1,i) = mean(abs(W'*x),2);
    output(2,i) = 1./(a'*inv(R_hat)*a);
    output(3,i) = a'*x*ones(N,1);
end
output = abs(output);
output = output - repmat(mean(output.')',1,size(output,2));
output = output./repmat(max(output.')',1,size(output,2));
%plot
plot(theta,output(1,:),'k',theta,output(2,:),'r--',theta,output(3,:),'b');
legend('MVDR 波束','MVDR 谱','固定权重 波束');

  对应结果:

空间谱专题02:波束形成(Beamforming)_第12张图片

如果将d = lambda/2;改为d = lambda/0.5;,自然就有了栅瓣:

 空间谱专题02:波束形成(Beamforming)_第13张图片

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