LeetCode：70. 爬楼梯

题目：

70. 爬楼梯

难度简单1156

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶
2.  2 阶

示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.  1 阶 + 2 阶
3.  2 阶 + 1 阶

 

方法1 递归：

缺点：由于是层层递归，计算了太多重复的结果，所以时间复杂度较高，LeetCode不通过。

 //  递归：
int climbStairs(int n) {
    if(n==1)
        return 1;
    else if(n==2) 
        return 2;
    else   
        return climbStairs(n-2)+climbStairs(n-1);
}

 方法2  动态规划：

思路： 

本问题其实常规解法可以分成多个子问题，爬第n阶楼梯的方法数量，等于 2 部分之和

爬上 n-1 阶楼梯的方法数量。因为再爬1阶就能到第n阶
       爬上 n-2 阶楼梯的方法数量，因为再爬2阶就能到第n阶
       所以我们得到公式 dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]
       同时需要初始化 dp[0]=1 和 dp[1]=1

时间复杂度：O(n)

空间复杂度：O(n)

// dp:
int climbStairs(int n) 
{
	int* dp = new int[n + 1];    // 因为数组下标从0开始，故 n + 1.
	dp[0] = 1;                        
	dp[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
	}
	return dp[n];
}

方法三 在方法2的基础上优化（与方法2类似）：

思路：

由于当前结果只跟 n-1 和 n-2 项有关，故只需缓存这两个变量即可，不需要使用方法2的dp数组缓存整个遍历结果。

时间复杂度：O(n)

空间复杂度：O(1) 较方法2有所降低

// 3.dp基础上优化（不保存数组，只保存 n-1 和 n-2 两个临时变量）：
int climbStairs(int n) {
    int temp1 = 1;
    int temp2 = 1;
    int sum = 1;    // 初始值为1：当一阶台阶时，可能数为1
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        sum = temp1 + temp2;
        temp1 = temp2;
        temp2 = sum;
    }
    return sum;
}