7. 数论四大定理(威尔逊定理、欧拉定理、费马小定理、孙子定理)

一、准备工作

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二、威尔逊定理

威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件。但是由于阶乘是呈爆炸增长的,其结论对于实际操作意义不大。

1. 定理及其变形

  1. 当且仅当p为素数时,( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )

  2. 当且仅当p为素数时,( p -1 )! ≡ p-1 ( mod p )

  3. 若p为质数,则p能被(p-1)!+1整除

  4. 当且仅当p为素数时,p∣(p−1)!+1

2. 例题

hdu 2973 YAPTCHA

题解分析

三、欧拉定理(费马-欧拉定理)(Euler Theorem)

1. 定理

若n,a为正整数,且n,a互质,即gcd(a,n) = 1,则 a φ ( n ) ≡ 1 ( m o d   n ) a^{φ(n)} ≡ 1 (mod\space n) aφ(n)1(mod n)

2. 欧拉定理拓展

将欧拉定理拓展到A和C不互质的情况:
在这里插入图片描述

3. 举例

例1:(验证定理是否与结果相符)
令a = 3,n = 5,这两个数是互素的。
比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4,所以φ(5)=4。
计算: a φ ( n ) a^{φ(n)} aφ(n) = 3 4 3^4 34 = 81,而   81 = 80 + 1 ≡ 1 ( m o d   5 ) \space81=80+1\equiv1(mod\space5)  81=80+11(mod 5)
与定理结果相符。

例2:(实现简化幂的模运算)
计算 7 222 7^{222} 7222的个位数。
解:
实际是求 7 222 7^{222} 7222被10除的余数。
因为7和10互质,令a=7,n=10,则据欧拉函数公式易得:φ(10)=4。
由欧拉定理知: 7 4 ≡ 1 ( m o d   10 ) 7^4\equiv1(mod\space10) 741(mod 10)
∴ \therefore
7 222 ( m o d   10 ) = [ ( 7 4 ) 55 ∗ ( 7 2 ) ] ( m o d   10 ) = [ ( 7 4 ) 55 ( m o d   10 ) ] ∗ [ ( 7 2 ) ( m o d   10 ) ] = 1 55 ∗ [ 7 2 ( m o d   10 ) ] = 49 ( m o d   10 ) = 9 ( m o d   10 ) \begin{aligned} 7^{222}(mod\space10)&=[(7^4)^{55}*(7^2)](mod\space10)\\ &=[(7^4)^{55}(mod\space10)]*[(7^2)(mod\space10)]\\ &=1^{55}*[7^2(mod\space10)]\\ &=49(mod\space10)\\ &=9(mod\space10)\end{aligned} 7222(mod 10)=[(74)55(72)](mod 10)=[(74)55(mod 10)][(72)(mod 10)]=155[72(mod 10)]=49(mod 10)=9(mod 10)
于是该 7 222 7^{222} 7222的个位数就是9。

总结:
利用欧拉定理来简化幂模运算: a x ≡ a x % φ ( m ) ( m o d   m ) a^x≡a^{x\%φ(m)}(mod\space m) axax%φ(m)(mod m)

4. 例题

hdu 1395 2^x(mod n) = 1

题解分析

四、费马小定理(Fermat’s little theorem)

1. 定理及其变形

对 任 意 a 和 任 意 质 数 p , 有 a p ≡ a ( m o d   p ) 对任意a和任意质数p,有a^p\equiv a(mod\space p) apapa(mod p)

对 任 意 a 和 任 意 质 数 p , 当 a 与 p 互 质 时 , 有 a p − 1 ≡ 1 ( m o d   p ) 对任意a和任意质数p,当a与p互质时,有a^{p-1}\equiv 1(mod\space p) apapap11(mod p)

若 p 能 被 a 整 除 , 则 a p − 1 ≡ 0 ( m o d   p ) 若p能被a整除,则a^{p-1} ≡0(mod\space p) paap10(mod p)

2. 举例

计算 2 100 2^{100} 2100除以 13 的余数:

设a=2,p=13,正好满足gcd(a,p)=1。可以利用费马小定理: a p − 1 ≡ 1 ( m o d   p ) a^{p-1}\equiv 1(mod\space p) ap11(mod p)

∴ 2 13 − 1 = 1 ( m o d   13 ) ⇒ 2 12 = 1 ( m o d   13 ) \therefore 2^{13-1}=1(mod\space 13)\Rightarrow2^{12}=1(mod\space 13) 2131=1(mod 13)212=1(mod 13)

解:

2 100 ( m o d   13 ) = 2 12 × 8 + 4 ( m o d   13 ) = [ ( 2 12 ) 8 ⋅ 2 4 ] ( m o d   13 ) = [ ( 2 12 ) 8 ( m o d   13 ) ] ⋅ [ 2 4 ( m o d   13 ) ] = 1 8 ⋅ [ 16 ( m o d   13 ) ] = 3 \begin{aligned} 2^{100}(mod\space 13)&=2^{12\times8+4}(mod\space 13)\\ &=[(2^{12})^8\cdot2^4](mod\space 13)\\ &=[(2^{12})^8(mod\space 13)]\cdot[2^4(mod\space 13)]\\ &=1^8\cdot[16(mod\space 13)]\\ &=3\end{aligned} 2100(mod 13)=212×8+4(mod 13)=[(212)824](mod 13)=[(212)8(mod 13)][24(mod 13)]=18[16(mod 13)]=3

3. 例题

hdu 4196 Remoteland

题解分析

五、孙子定理(中国剩余定理)

1. 定理及其变形

中国剩余定理说明:假设整数m1,m2, … ,mn两两互质,则对任意的整数:a1,a2, … ,an,方程组S有解,并可构造得出。
在这里插入图片描述

2. 基本公式的运用

中国剩余定理的孙子解法并没有什么高深的技巧,就是以下两个基本数学定理的灵活运用:

  1. 如果 a%b=c , 则有 (a+kb)%b=c (k为非零整数)。
  2. 如果 a%b=c,那么 (a*k)%b=kc (k为大于零的整数)。

3. 原理

关于中国剩余定理的原理讲解可以参考这篇博客,非常清楚!膜大神orz
中国剩余定理学习笔记

4. 逆元

求解中国剩余定理时,一般会用到逆元。
逆元实现的原理和代码总结可以参考这篇博客,非常全面!膜orz
逆元的求法总结(3种基本方法+4种实现)

5. 孙子定理模版

【接口】
int CRT(int a[],int m[],int n);
复杂度:O(nlogm),其中m和每个 m i m_i mi同阶。
输入:a,m——第i个方程表示为 x ≡ a i ( m o d   m i ) x\equiv a_i(mod\space m_i) xai(mod mi)
           \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space           n——方程个数
输出:方程组在 [ 0 , ∏ i = 0 n − 1 m i ) [0,\prod_{i=0}^{n-1}m_i) [0,i=0n1mi)中的解
调用外部函数:拓展欧几里得

【代码】

int CRT( int a[], int m[], int n )//中国剩余定理
{
	int M = 1;
	for(int i=0;i<n;++i) M *= m[i];
	int ret = 0;
	for(int i=0;i<n;++i)
	{
		int x,y;
		int tm = M/m[i];
		extend_gcd(tm,m[i],x,y);//调用外部函数:拓展欧几里得
		ret = (ret+tm*x*a[i])%M;
	}
	return (ret+M)%M;
}

6. 顺便附上拓展欧几里得模版

【接口】
int extend_gcd(int a,int b,int &x,int &y);
复杂度:O(logN),其中N和a,b同阶
输入:a,b——两个整数
           \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space           &x,&y——引用,ax+by=GCD(a,b)的一组解
输出:a和b的最大公约数
调用后x,y满足方程ax+by=GCD(a,b)

【代码】

int extend_gcd( int a, int b, int &x, int &y )//函数返回a,b的最大公约数
{
	if( b==0 )
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	else
	{
		int r = extend_gcd(b,a%b,y,x);
		y -= x*(a/b);
		return r;
	}
}

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