学习之旅——费马小定理

定理解释

费马小定理：如果质数p，和满足gcd(a,p) == 1的任意数字a，那么就一定满足下面的式子：

证明等这里就不叙述了，想要了解的话可以查看：百度百科：费马小定理

应用

我们这里就引用一个百度百科中的例子：计算2^100（mod 13）的数值

在这个例子中我们知道p = 13，并且p是质数，那么我们就可以去找最大的m值满足：（2^(p-1)）^m

我们求解到最大的m值为： 100/（p-1）向下取整为8

那么我们的式子就可以转化为：

那么根据费马小定理得前面余数为1，那么最终答案为：

结果为：3

这样我们就可以不必去计算2^100这样一个大数了

延伸

还有与费马小定理的推广：欧拉定理，对于任何两个互质的正整数a,g (gcd(a,g) = 1)，m >= 2 有 a^(φ(m)) = 1 (mod m)  

这里的φ(m)表示的是小于或等于m的正整数中与m互质的数的数目

具体内容可以参见：维基百科：欧拉函数

求数n能有多少个划分,可以算得是2^(n-1)个,但n可以达到特别大

通过费马小定理可知,2^(n-1)%(10^9+7)=2^((n-1)%(10^9+6))%(10^9+7)，(n-1)%(10^9+6)可以用大数取模算出，接下来的用快速幂及取模就可以

#include
using namespace std;
 
#include
#include
#include
using namespace std;
const int MAX = 100005;
const int mod = 1000000007;
char s[MAX];
 
 
long long quick_pow(long long a, long long b, long long c)
{
	a %= c;
	long long ans;
	ans = 1;
	while (b != 0)
	{
		ans %= c;
		a %= c;
		if (b & 1)ans = ans*a%c;
		b /= 2;
		a *= a;
 
	}
	return ans;
 
}
 
int main()
{
	while (scanf("%s", s) != EOF)
	{
		long long num = 0;
		for (int i = 0; i < strlen(s); i++)
			num = (num * 10 + s[i] - '0') % (mod - 1);
		num--;
		cout << quick_pow(2, num, mod) << endl;
	}
	return 0;
}