关于欧拉公式在ACM中的应用

题目描述：你有一块椭圆的地，你可以在边界上选n个点，并两两连接得到n(n-1)/2条线段。他们最多能把土地分成多少个部分？

输入：输入包含多组测试数据，每组测试数据占一行，代表在椭圆边界选择点的数量n（n>=2）。

输出：输出为多行，每组输出占一行，对于每组测试数据，输出最多能把土地分成区域的数量。

样例输入：2
                  4
                  6

样例输出：2
                  8
                  31

提示：欧拉公式。

对于本题，利用欧拉公式求解。
在平面欧里几何中，欧拉公式简写成：V-E+F=2，其中V为平面中顶点的数量（包含顶点和所有交点），E为平面中边的数量（包含所有的线段或线段弧），F为平面中所分区域的总数量（包含图形中被分的和外侧中无限大的平面）。

在本题中，我们不考虑外侧的无限平面，那么即得：V-E+F=1，换句话说，只要知道V和E的值，我们就可以求出F=E-V+1。

问题转化为求E和V的值。
为了求出E和V的值，我们不得不对椭圆上的点进行枚举。实际上只要我们任意找两个定点，这条线段就定了。而对于每条线段，两侧其他点的分布方式是不一样的。所以实际上枚举的是所选线段的左侧有的点数，记为i，那么右侧一定有n-i-2个点。对于两侧每两个点都有且仅有唯一的一条线段与之对应，切都会与所选线段交于一点。由于题目中求最优解，故任意三条线段交于一点的情况不考虑。这样共可形成 i*(n-i-2)个交点，在所选线段上也会形成i*(n-i-2)个交点，而这些点将这条线段分成i*(n-i-2)+1条线段。这样枚举每个点都可能是固定的定点，所以最后结果要乘以n，而每个点也被枚举了2次，每次都会将两侧的点枚举两次，故最终结果应该是实际的4倍，故E的结果应除以2，V的结果应除以4。

所以可以得出如下结论
V=n + n/4 * SUM （i*(n-2-i)）（0<=i<=n-2）
E=n + n/2 * SUM （i*(n-2-i)+1） （0<=i<=n-2）

这样可以得到以下代码：
#include
#include

int main()
{
         int i,n,s=0;
         while(scanf("%d",&n)!=EOF)
         {
                 s=0;
                 for(i=0;i                 {
                         s+=2*(i*(n-2-i)+1);
                         s-=i*(n-2-i);
                 }
         printf("%d\n",s*n/4+1);
         }
return 0;
}