树状数组浅显理解以及Ultra-QuickSort的AC代码

1. 快速求和
   如何快速地求区间[x,y]的数组和呢？相信很容易知道，只需要建立一个前缀和数组（Tree[i]的数值为import[1]~import[i]的和），就能在O(1)内求出任意区间的和，若只是求任意区间的和，显然这种方法是最快而且在线的。
2. 树状数组的意义
   一个简单的前缀和数组虽然能在通常意义下做到最快的求和，对于数组的维护却相当费力。对输入数组的单点修改，简单前缀和数组的维护成本为O(n)，那么对于需要频繁更改数据的维护，简单前缀数组是不合适的。
   有没有一种方法在修改和求和统计上能够同时做到O(1)呢？很遗憾并没有在所有情况下都这么快的结构。
   退而求其次，我们找到了一种在修改和求和统计速度都及其接近O（1）的结构，那就是树状数组。
3. 树状数组的由来
   想像这样一种树，它是一种修改版的前缀和，这种微妙的修改使得Tree[i]是i之前多个数的和(但不是严格的从1到i的和），这样使得修改的时候没必要修改像简单前缀和一样的次数。但这似乎使得区间求和不太方便，再想象这种性质：Tree[i]是i前k个数的和而这个k是不确定的，它有时比较小，有时候非常大，这使得不论求小区间还是大区间都能很方便。
   那这个有时大有时小的数如何控制呢？这就是树状数组的核心:lowbit(x)=x&-x，这是一个与x相关的数，能够恰如其分地控制前缀范围。
4. lowbit(x)函数
   记n为x能够整除2的次数，那么这个函数的值就是2的n次方。
   不难想象，当x为2的k次方时，Tree[lowbit(x)]恰好为1~N所有数的和。当x为奇数时，Tree[lowbit(x)]仅仅是import[x]，而x为普通偶数时，lowbit[x]时大时小。
5. 代码核心:
   参见这篇博客：

代码 示例

输入：
第一行一个数N，代表输入的数有N个。
第二行N个正整数
以后K行：
左区间值与右区间值，以空格隔开。回车结束该行输入。
结束输入：
换行，CTRL+Z

#include 
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

#define lowbit(x) x&-x

int N;

void UPDATE(int*Tree,int k,int x)//更改某点数值
{
    for(int i=k;i<=N;)
    {
        Tree[i]+=x;
        i+=lowbit(i);
    }
}

int ALL(int*Tree,int k)//1~N求和
{
    int Num=0;
    for(int i=k;i>=1;)
    {
        Num+=Tree[i];
        i-=lowbit(i);
    }
    return Num;
}

int main()
{
    scanf("%d",&N);
    int*Tree=(int*)malloc(sizeof(int)*(N+2));
    fill(Tree,Tree+(N+2),0);
    int key;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        {
            scanf("%d",&key);
            UPDATE(Tree,i,key);
        }
    int x,y;
    while(scanf("%d%d",&x,&y)!=EOF)
        printf("%d\n",ALL(Tree,y)-ALL(Tree,x-1));
    return 0;
}

如何解决Ultra-QuickSort 的数据范围不适用

理论上，如果没有数据限制，用树状数组解决Ultra-QuickSort无疑是非常好的办法，但我们遇到了一个拦路虎，因为0 ≤ a[i] ≤ 999,999,999，这样大的数据范围是无法开出这么长的数组的，就算能够实现，在实际工程问题中，这样的办法也及其耗费资源，并不是一种经济的办法。
就仅这道题而言，仅仅因为数据范围就用不了树状数组实在是有点可惜。虽然我们无法开出10的9次方的数组，但由于数字的总量很小，如果我们在不改变大小关系的前提下将各个数字“缩小”，直到能够运用树状数组来解决就可以啦。缩小到什么程度最好呢？当然是排序后的每对相邻的数字只相差1，就能最大程度的节约内存啦。
当我们把输入的数据排序好以后，将他们的值都依顺序改为1，2，3，4，5，。。。然后再逆排序，即变成输入顺序就可以啦。这个操作我是用一个结构体和一个额外数组完成的。具体可以看代码。

Ultra-QuickSort 的AC代码

题目百度即可

#include 
#include
#include
#include
#include

using namespace std;

#define lowbit(x) x&-x
int N;

struct Doc
{
    long long num;
    int doc;
};

bool cmp(Doc a,Doc b)
{
    return a.numvoid UPDATE(int*Tree,int k,int x)
{
    for(int i=k;i<=N;)
    {
        Tree[i]+=x;
        i+=lowbit(i);
    }
}

int SUM(int*Tree,int k)
{
    int sum=0;
    for(int i=k;i>=1;)
    {
        sum+=Tree[i];
        i-=lowbit(i);
    }
    return sum;
}

void RESET(Doc*ToTran,int*Array)
{
    sort(ToTran+1,ToTran+N+1,cmp);
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        Array[ToTran[i].doc]=i;
    }
}

long long BDans(int*Array,int*Tree)
{
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        //printf("现在插入%d\n",Array[i]);
        UPDATE(Tree,Array[i],1);
        //printf("%d当前SUM是%d\n",i,SUM(Tree,i));
        ans+=i-SUM(Tree,Array[i]);
        //printf("目前积累%d\n",ans);
    }
    return ans;
}

int main()
{
    while(scanf("%d",&N)!=EOF && N)
    {
        Doc*ToTran=(Doc*)malloc(sizeof(Doc)*(N+2));
        int*Array=(int*)malloc(sizeof(int)*(N+2));
        int*Tree=(int*)malloc(sizeof(int)*(N+2));
        fill(Tree,Tree+(N+2),0);
        for(int i=1;i<=N;i++)
        {
            scanf("%I64d",&ToTran[i].num);
            ToTran[i].doc=i;
        }
        RESET(ToTran,Array);
        printf("%I64d\n",BDans(Array,Tree));
    }
    return 0;
}

之前没有想到可以对数据大小进行改变，而误认为不能用树状数组解决这题，实在对不起之前的读者。。。