区间DP的瞎扯淡

写在前面
连个引言都不加就直接开
1. 区间DP状态常见模板：

f[i][j]常常表示第i个到第j个这个区间内达到题目要求，所需要的最小值（最大值）

如：

1. [石子合并](https://www.luogu.com.cn/problem/P1880)
这里的f[i][j]表示将i～j堆石头合并所需要的最小/大体力
1. [关路灯](https://www.luogu.com.cn/problem/P1220)
这里的f[i][j][0/1]表示将i～j的区间的灯完全关闭，老人站在左/右端点时剩下的灯的总功率
1. [能量项链](https://www.luogu.com.cn/problem/P1063)
这里的f[i][j]表示将i～j的珠子完全合并所能产生的最大能量

#### 总结：对于一个区间DP的状态设计来说，常常以f[i][j]进行第i个到第j个这个区间的状态设计，并辅以第三维的变量来契合题目：
如[乘积最大](https://www.luogu.com.cn/problem/P1018)的一种状态设计就是f[i][j][x]表示i～j的区间内使用x个乘号可以得到的最大值。
1. 区间DP状态转移方程模板：

f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+w(i,j));

如：

1. [石子合并](https://www.luogu.com.cn/problem/P1880)

1 f[i][j]=max(f[i][k]+f[k+1][j]+w(i,j),f[i][j])
2 
3 =max(f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1],f[i][j])
4 
5 又可以进一步优化得f[i][j]=max(f[i+1][j]]+sum[j]-sum[i-1],f[i][j-1]+sum[j]-sum[i-1]);

但其本质仍然是原模板

2.[又是关路灯](https://www.luogu.com.cn/problem/P1220)

1 f[i][j][0]=
2 min(f[i+1][j][0]+(a[i+1]-a[i])*(sum[i] +sum[n]-sum[j]),f[i+1][j][1]+(a[j]-a[i])*(sum[i]+sum[n]-sum[j]));
3 
4 f[i][j][1]=
5 min(f[i][j-1][0]+(a[j]-a[i])*(sum[i-1]+sum[n]-sum[j-1]),f[i][j-1][1]+(a[j]-a[j-1])*(sum[i-1]+sum[n]-sum[j-1]));这里引用了[这篇z2415445508大佬的题解](https://www.luogu.com.cn/blog/user44468/solution-p1220)~~，原因是我懒得再推DP方程。~~

实质上，利用本题条件，如石子合并一样将k优化为i+1或j-1同样是是相同模板变形。

3.[能量项链我不想举例子](https://www.luogu.com.cn/problem/P1063)

f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+a[i+1]*a[k+1]*a[j])；

仅仅是w(i,j)稍有不同，这里更可以看出原模板变形。
1. 边界模板

边界是我们区间DP时常常漏掉的一环，因为它实在是太显而易见了( _~~然而并不是这样~~_ )

以至于在我写这里的时候根本不知道该写什么

通常来说，区间DP的边界是

(1<=i,j<=n;)
(i<=k<=j;)(=的添加与否由具体情况讨论，我见过最多的是(i<=k 
 

懒的举例子.

4.前言总结

所谓模板,只是用来在考试时帮助你认清题目本质的,一味套板是不可取的.

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# 正文

1. 下定义!


"区间动态规划是线性动归的拓展，在划分阶段时，往往是以区间的长度从小到大为阶段，逐步求解到到长度为N的区间的最优值，在枚举每一个区间的最优值时，由于当前区间内又有很多种合并方式并到到当前区间，那么就需要枚举这些合并方式中产生的值维护最优值，合并的不同，可以看作是区间划分的不同，划分时需要枚举划分的位置，即分割点。 那么对于区间类动态规划问题，往往可以将问题分解成为两两合并的形式。其解决方法是对整个问题设最优解，枚举分割点，维护最优值。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　————[一位巨佬](https://www.cnblogs.com/SuYii/p/10988769.html)
这段话还是说得非常精彩的，揭露了区间DP的本质——小区间递推大区间。

2.实现
```cpp

for(int l=1;l)
{
　　for(int i=1,j;i+l<=2*n;i++)
　　{
　　　　j=i+l;
　　　　f[i][j]=-0x7fffffff;
　　　　fz[i][j]=0x7fffffff;
　　　　for(int k=i;k)
　　　　{
　　　　　　if(fu[k+1]==1)
　　　　　　{
　　　　　　　　f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);
　　　　　　　　fz[i][j]=min(fz[i][j],fz[i][k]+fz[k+1][j]);
　　　　　　}
　　　　　　if(fu[k+1]==2)
　　　　　　{
　　　　　　　　　　f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]*f[k+1][j]);
　　　　　　　　　　f[i][j]=max(f[i][j],fz[i][k]*f[k+1][j]);
　　　　　　　　　　f[i][j]=max(f[i][j],fz[i][k]*fz[k+1][j]);
　　　　　　　　　　f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]*fz[k+1][j]);
　　　　　　　　　　fz[i][j]=min(fz[i][j],fz[i][k]*fz[k+1][j]);
　　　　　　　　　　fz[i][j]=min(fz[i][j],f[i][k]*fz[k+1][j]);
　　　　　　　　　　fz[i][j]=min(fz[i][j],fz[i][k]*f[k+1][j]);
　　　　　　　　　　fz[i][j]=min(fz[i][j],f[i][k]*f[k+1][j]);
            }
        }
    }
}            

以上是[多边形](https://www.luogu.com.cn/problem/P4342)我的部分代码，其中：

1. l代表一个区间的长度（这里我定义的并非标准的长度，而是图方便定义为(右端点-左端点)的值，标准的长度还要再加1;

2. i代表左端点的位置;

3. j代表左端点的位置;

4. k代表划分的位置，即分割点。

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问：为什么要先枚举长度再枚举端点？
答：区间DP是由小区间递推大区间的情况，若先端点再长度会出现大区间内有小区间的情况不明了的情况。

如：f[1][3]理应=f[1][2]+f[2][3]+w(1,3);但此时f[2][3]并未求出

 

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3. 时间复杂度

朴素的区间DP的时间复杂度为O(N^3)

4. 破环成链

[双是石子合并](https://www.luogu.com.cn/problem/P1880)

代码:

#include
using namespace std;
int n,a[5000],sum[5000],f[5000][5000],ans;
inline void read(int &s) {
    int w=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') {
        if(ch=='-')w=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
    s=s*w;
    return;
}
int main() {
    read(n);
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        read(a[i]);
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
    for(int i=n+1; i<=2*n; i++) {
        a[i]=a[i-n];
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
    for(int l=1; l) {
        for(int i=1,j; i+l<=2*n; i++) {
            j=i+l;
            f[i][j]=max(f[i+1][j]+sum[j]-sum[i-1],f[i][j-1]+sum[j]-sum[i-1]);
        }
    }
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        ans=max(ans,f[i][i+n-1]);
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}