最小割基本模型及解决方案

最小割概念

• 割：如果从图G中删除一个弧的集合c{f}，让S流不到T，那么这个集合成为图G的一个割。记做C（S,T），S,T为点集。

• 正向割边：对于集合c中的一条弧f{u,v}（u指向v）如果u∈S，v∈T则成为正向割边。

• 逆向割边：对于集合c中的一条弧f{u,v}（u指向v）如果u∈T，v∈S则成为逆向割边。

• 割的容量：割C{S,T}中所有正向割边的容量和称为割的容量。

• 最小割：容量最小的割Ci{S,T}即为图G 的最小割。

• 最大流最小割定理：图G的最大流=ci的容量。

基本模型

1.最小冲突数

• 模型：这类问题通常为，初始两个集合，每个人第一意愿为赞成/不赞成，为照顾他人情绪而产生类似“跟票”行为，求最后违反自己意愿人数最少。
• 构图方法：
  ①： S向每个赞成的连有向边，容量为1；
  ②：每个不赞成的向T连有向边，容量为1；
  ③：每对朋友之间，若两者意愿不同，则赞成的一方向不赞成的一方连有向边，容量为1；
  即：若有人违背了自己的意愿，割掉。最小割即为答案数。
• 题目：BZOJ1934，2768等。

2.最大权闭合子图

• 定义：在一个图中，我们选取一些点构成集合，记为V，且集合中的出边(即集合中的点的向外连出的弧)，所指向的终点(弧头)也在V中，则我们称V为闭合图。最大权闭合图即在所有闭合图中，集合中点的权值之和最大的V，我们称V为最大权闭合图。
• 模型：
  ①’有向无环图（DAG）问题，反映了事件间的必要条件关系：一个事件的发生，它所需要的所有的前提都要发生。EXP：选课，一些课程需要以另一些课程为基础，若给课程打分，最大权闭合图对应获利最大或效率最高的选课计划。
  ②’带圈的有向图。EXP：工程分期类问题，项目间有相互依赖关系，也可以用最大权闭合图解决，将最先应完成的选出来作为第一期。
• 构图方法：
  ①：S向每个正权点，容量为点权；
  ②：每个负权点向T，容量为点权绝对值；
  ③：依赖关系之间单向连接，容量为INF（表示选择了u就一定要选择v，如果割掉了INF，一定不是最小割）；
  通常正权点代表收益，负权点代表成本。
  正点权和-最小割=答案。
• 证明：
  以下证明引用出处

证明最小割所产生的两个集合中，其源点S所在集合(除去S)为最大权闭合图。

    首先我们记一个简单割的容量为C,且S所在集合为N，T所在集合为M。

    则C=M中所有权值为正的点的权值(即S与M中点相连的边的容量)+N中所有权值为负的点权值的绝对值(即N中点与T中点相连边的容量)。记(C=x1+y1);(很好理解，不理解画一个图或想象一下就明白了)。

    我们记N这个闭合图的权值和为W。

    则W=N中权值为正的点的权值-N中权值为负的点的权值的绝对值。记(W=x2-y2);

    则W+C=x1+y1+x2-y2。

    因为明显y1=y2，所以W+C=x1+x2;

    x1为M中所有权值为正的点的权值，x2为N中权值为正的点的权值。

    所以x1+x2=所有权值为正的点的权值之和(记为TOT).

    所以我们得到W+C=TOT.整理一下W=TOT-C.

    到这里我们就得到了闭合图的权值与简单割的容量的关系。

    因为TOT为定值，所以我们欲使W最大，即C最小，即此时这个简单割为最小割，此时闭合图为其源点S所在集合(除去S)。得证。

• 题目：BZOJ1391，NOI 2006最大获利，GDKOI2016寻宝 等。

3.最小点割集

• 定义：无向(有向)图G中，给定源点s和终点t，至少要删去多少个点(具体一点，删哪些点)，使得s和t不连通。这个问题就是点连通度，也叫最小点割集。
• 构图方法：
  ①：拆点，将原图中点v拆为v’和v”，v’到v”连边，容量为1；
  ②：原图每条有向边（x,y）,x”到y’连边，容量为INF；
  ③：若为无向边，则再从v”到v’连边，容量为INF；

• 题目：POJ1815。

  4.矩阵型/网格型

• 建模方法：通常有黑白染色，拆点等方法。通常此类与最小割结合的问题都有：收获的同时有代价，这样就可以转为最大权闭合子图。

• 题目推荐：HNOI2013切糕，BZOJ2132圈地计划。

5.最大密度子图

二分答案ans。

ans=sumEsumV

sumE-ans*sumV取最大值，若 >=0 就满足条件。
由于边和点有依赖关系，一条边依赖于两点，所以可转化为最大权闭合子图。
边为正权1，点为负权ans。判断（正权和-最小割）的正负。