Fast R-CNN中的边框回归

前面对R-CNN系的目标检测方法进行了个总结，其中对目标的定位使用了边框回归，当时对这部分内容不是很理解，这里单独学习下。

R-CNN中最后的边框回归层，以候选区域(Region proposal)为输入，来对Region proposal中包含的目标进行准将的定位。但是，这个输入的候选区域通常不会正确的包含目标区域，如下图：

绿色边框是飞机的Ground Truth边框，绿色的是Region proposal边框，虽然Region proposal中包含了目标飞机，但是其定位却不是很准确，这就需要对候选区域的边框进行修正，调整其位置和大小，以使其能够更为接近绿色的Ground Truth边框。

边框回归的方法

无论是Ground Truth边框还是Region proposal边框，可以使用一个四元组$(x,y,w,h)$来表示。其中，$(x,y)$表示边框的中心位置，$(w,h)$表示边框的宽和高。
在边框回归时，实际就是找到一种变换，使修正的后的Region proposal边框位置和Ground Truth边框尽可能的接近，公式表示如下：
$$f(P_x,P_y,P_w,P_h)\approx (G_x,G_y,G_w,G_h)$$
其中，$(P_x,P_y,P_w,P_h)$输入的候选区域的边框,$(G_x,G_y,G_w,G_h)$是Ground Truth边框。

那么这种变换$f$怎么进行呢？

观察边框的四元组表示$(x,y)$表示中心位置，对于位置的修正通常使用平移；$(w,h)$表示边框的宽和高，则可以使用缩放进行修正。也就是对边框的回归修正，

• 对边框的中心位置进行平移$(\Delta x,\Delta y)$
  KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ \Delta x &= P_…
  则修正的中心位置就是
  KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ \hat{G_x} &= …

• 对边框的宽和高进行缩放$(S_w,S_h)$,
  KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ S_w &= exp(d_w…
  修正后的边框的宽和高为
  KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ \hat{G_w} &= …

修正后的边框$(\widehat{G_x},\widehat{G_y},\widehat{G_w},\widehat{G_h})$要近似等于Ground Truth的边框。

通过上述公式可以知道，边框回归实际上就是学习$d_x(P),d_y(P),d_w(P),d_h(P)$这4个变换。在边框回归的全连接层，输入的是候选区域的特征信息$X$以及其边框信息$P$，要学习的是全连接层的权值矩阵$W$，也就说回归的全连接层就实现了上述变换，输出的是$d_x(P),d_y(P),d_w(P),d_h(P)$，经过上述公式的可以得到平移和缩放$(\Delta x,\Delta y,S_w,S_h)$。 对候选区域的边框进行该平移和缩放得到的边框尽可能的和Ground Truth相近。

学习得到的$d_x(P),d_y(P),d_w(P),d_h(P)$通过数码的公式可以很容易得到$(\Delta x,\Delta y,S_w,S_h)$，也可以说学习得到的是$(\Delta x,\Delta y,S_w,S_h)$。 这两者没有区别，不用做区分。 但是在计算预测边框位置的时候，需要注意。

损失函数

R-CNN使用一个全连接网络实现边框的回归，

• 其输入的是候选区域的特征及其边框$(P_x,P_y,P_w,P_h)$
• 输出的该候选框要进行的平移和缩放$(\Delta x,\Delta y,S_w,S_h)$。
• 要学习的是权值矩阵$W$，以使候选框进行$(\Delta x,\Delta y,S_w,S_h)$变换后，尽可能和Ground Truth接近。

有了以上认识，来看下损失函数的设计
$$L(p,u,t^u,v)=L_{cls}(p,u)+\lambda [u\ge 1]L_{Ioc}(t^u,v)$$
其中，$L_{cls}(p,u)$是分类的损失函数，$p_u$是class u的真实分类的概率。这里，约定$u=0$表示背景，不参与边框回归的损失计算。上面是Fast R-CNN将分类的损失和边框回归的损失放到了一起，这里这关注边框回归的损失
KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ L_{Ioc}(t^u,v)…
其中，$u$表示类别，$t^u$表示预测边框的偏移量（也就是预测边框进行$t^u$偏移后，能够和真实边框最接近），$v$表示预测边框和实际边框之间真正的偏移量。
也就是$t^u=(\Delta x,\Delta y,S_w,S_h)$为学习得到的偏移量，而$v$则是输入的候选区域的边框和Ground Truth的真正偏移。

训练样本偏移$v$的构造

我们使用下面的公式描述了边框修正的过程
KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ \hat{G_x} &= …
$P$为输入的边框，$\hat{G}$为修正后的边框，修正使用的平移和缩放为$(\Delta x,\Delta y,S_w,S_h)$。通过上述的公司，就可以得到训练样本$P=(P_x,P_y,P_w,P_h)$相对于Ground Truth$G=(G_x,G_y,G_w,G_h)$边框的真实偏移量$v$
KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ v_x &= (G_x - …

偏移量的构造

边框回归的偏移量使如下公式表示
KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ \Delta x &= P_…

从上面公式可知，从边框回归的学习得到的$d_x(P),d_y(P),d_w(P),d_h(P)$并没有直接用于平移和缩放，而是加了一步处理：对于平移，添加了比例宽高比例因子；宽和高的缩放，使用其比例的$log$形式。

对于中心点平移，学习到的值需要添加宽和高的因子。这是由于，CNN具有尺度不变性，对于不同尺度的同一个目标，在最后的特征输出层学习到的特征是相同。如下图

两个不同尺度的人，CNN提取的特征分别为${\sigma }_1,{\sigma }_2$，这两个特征应该是相同的。 假如边框回归学习到的映射为$f$，且$f(\sigma )$学习到的量。 以$x$为例，$x1,x2$分别为两个人的Ground Truth，$P_{1x},P_{2x}$为两个候选区域的$x$坐标。假如，$f(\sigma )$直接表示平移的差值，则有$x_1-P_{1x}=f({\sigma }_1),x2-P_{2x}=f({\sigma }_2)$。而${\sigma }_1,{\sigma }_2$，这两个特征是相同的，则有$f({\sigma }_1)=f({\sigma }_2)$。故有$x_1-P_{1x}=x2-P_{2x}$。从，上图看，这两个不同尺度的人的平移量，显然是不相同的。 所以，将学习到的量作为坐标偏移显然是不可行的，R-CNN中给其添加了个尺度因子，也就是目标的宽和高。 如下：
$$\begin{gathered} f({\sigma }_1)=x_1-P_{1w}{P}_{1x} \\ f({\sigma }_2)=x_2-P_{2w}{P}_{2x} \end{gathered}$$

尺度（宽和高）的缩放，取其$log$形式。
需要学习得到宽和高的缩放因子，就需要将学习到的值限制为大于0，这里就取其$exp(d_w(P)$，来保证缩放因子都大于0.

总结

边框回归输入的是CNN学习到的候选区域的特征，以及候选区域的边框信息$(x,y,w,y)$。通过学习得到映射$d_x(P),d_y(P),d_w(P),d_h(P)$。$P_w{d}_x(P),P_h{d}_y(P)$添加尺度因子后，作为坐标的平移；$exp(d_w(P)),exp(d_h(P))$取作为宽和高的缩放。