树链剖分原理、实现及例题
参考博文：
http://www.cnblogs.com/George1994/p/7821357.html
知识点
重结点：子树结点数目最多的结点；
轻节点：父亲节点中除了重结点以外的结点；
重边：父亲结点和重结点连成的边；
轻边：父亲节点和轻节点连成的边；
重链：由多条重边连接而成的路径；
轻链：由多条轻边连接而成的路径；
dfs1用来计算出一些上述的值
而dfs2则是从根节点开始，连重边成重链，以便于后面的线段树等数据结构的操作
例题 Query on a tree系列
Query on a tree
#include1,2,n,tid[top[u]],tid[u]));
u=fa[top[u]];
}
if(dep[u]>dep[v])
swap(u,v);
if(u!=v)
ans=max(ans,Query(1,2,n,tid[u]+1,tid[v]));
return ans;
}
int main()
{
int cs;
scanf("%d",&cs);
while(cs--)
{
Init();
scanf("%d",&n);
for(int i=1;iint u,v,w;
scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
AddEdge(u,v,w,i);
}
dfs1(1,1,1);
dfs2(1,1);
Build(1,2,n);
char s[50];
int u,v;
while(1)
{
scanf("%s",s);
if(s[0]=='D')
break;
scanf("%d %d",&u,&v);
if(s[0]=='Q')
printf("%d\n",Ask(u,v));
else Change(u,v);
}
}
} Query on a tree II
#include1,2,n,tid[top[u]],tid[u]);
u=fa[top[u]];
}
if(dep[u]>dep[v])
swap(u,v);
int lca=u;
if(u!=v)
ans+=Query(1,2,n,tid[u]+1,tid[v]);
if(!typ)
return ans;
if(dep[tu]-dep[lca]+11;
k=dep[tv]-dep[lca]-k+1;
tu=tv;
}
while(dep[top[tu]]>dep[lca])
{
int dis=dep[tu]-dep[top[tu]]+1;
if(dis>=k) break;
k-=dis;
tu=fa[top[tu]];
}
return rnk[tid[tu]-k+1];
}
int main()
{
int cs;
char s[10];
scanf("%d",&cs);
while(cs--)
{
Init();
scanf("%d",&n);
for(int i=1;iint u,v,w;
scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
AddEdge(u,v,w,i);
}
dfs1(1,1,1);
dfs2(1,1);
Build(1,2,n);
while(~scanf("%s",s))
{
if(s[1]=='O')
break;
int u,v;
scanf("%d %d",&u,&v);
if(s[1]=='I')
printf("%d\n",Ask(u,v,0));
else
{
scanf("%d",&k);
printf("%d\n",Ask(u,v,1));
}
}
}
return 0;
} Query on a tree again!
#includeQuery on a tree IV
#includeif(a[x][i]!=fax)
{
dfs1(a[x][i],x);
sz[x]+=sz[a[x][i]];
if(son[x]==-1||sz[son[x]]else fav[x]=va[x][i];//顶点x与它父亲的边权
}
void dfs2(int x,int tp)
{
top[x]=tp;
tid[x]=++dcnt;
sz[tp]++;
if(x!=tp)
presum[dcnt]=presum[tid[fa[x]]]+fav[x];
rnk[dcnt]=x;
if(son[x]==-1) return ;
dfs2(son[x],tp);
for(int i=0;iif(a[x][i]!=son[x]&&a[x][i]!=fa[x])
dfs2(a[x][i],a[x][i]);
}
void Merge(int u,int x,int y,int l,int r)
{
int mid=(l+r)>>1;
flagx[u]=1;
tree[u].maxl=max(tree[y].maxl+Query(l,mid+1),tree[x].maxl);//以左端点出发（含），向右的最大
tree[u].maxr=max(tree[x].maxr+Query(mid,r),tree[y].maxr);//以右端点出发（含），向左的最大
tree[u].v=max(tree[x].maxr+tree[y].maxl+Query(mid,mid+1)/*跨越左右儿子*/,max(tree[x].v/*在左儿子*/,tree[y].v/*在右儿子*/));
}
void update(int x,int id)
{
int d1=-INF,d2=-INF;
flagx[id]=1;
if(ch[x].size()!=0)
d1=*(ch[x].rbegin());//按从小到大排序 rbegin()是最大 由于是迭代器 *表示取值
if(ch[x].size()>1)
d2=*(++ch[x].rbegin());//d1,d2取出最长的链和次长的链
if(col[x]==0)
{
tree[id].maxl=max(d1,0);
tree[id].maxr=max(d1,0);
tree[id].v=max(0,max(d1,d1+d2));
}
else
{
tree[id].maxl=d1;
tree[id].maxr=d1;
tree[id].v=max(-INF,d1+d2);
}
}
void build(int l,int r,int id,bool flag)
{
if(l==r)
{
int x=rnk[l];
for(int i=0;iint y=a[x][i];
if(y!=fa[x]&&top[y]!=top[x])
{
root[y]=++cnt;// 每一条链都建了一颗线段树
build(tid[y],tid[y]+sz[y]-1,root[y],1);
ch[x].insert(tree[root[y]].maxl+va[x][i]);//上传信息
}
}
update(x,id);
if(flag==1)
ansx.insert(tree[id].v);
}
else
{
int mid=(l+r)>>1;
tree[id].pl=++cnt;
tree[id].pr=++cnt;
build(l,mid,tree[id].pl,0);
build(mid+1,r,tree[id].pr,0);
Merge(id,tree[id].pl,tree[id].pr,l,r);
if(flag==1)
ansx.insert(tree[id].v);
}
}
vector<int> path,pathv;
void find_path(int x)
{
while(x!=0)
{
path.push_back(x);
pathv.push_back(fav[top[x]]);
x=fa[top[x]];
}
}
void modify(int l,int r,int id,int i,bool flag)
{
if(l==r)
{
int x=rnk[l];
if(i!=0)
{
int ne=top[path[i-1]];
ch[x].erase(ch[x].find(tree[root[ne]].maxl+pathv[i-1]));
modify(tid[ne],tid[ne]+sz[ne]-1,root[ne],i-1,1);
ch[x].insert(tree[root[ne]].maxl+pathv[i-1]);
}
if(flag)
ansx.erase(ansx.find(tree[id].v));
update(x,id);
if(flag)
ansx.insert(tree[id].v);
}
else
{
int mid=(l+r)>>1;
if(tid[path[i]]<=mid)
modify(l,mid,tree[id].pl,i,0);
else modify(mid+1,r,tree[id].pr,i,0);
if(flag)
ansx.erase(ansx.find(tree[id].v));
Merge(id,tree[id].pl,tree[id].pr,l,r);
if(flag)
ansx.insert(tree[id].v);
}
}
//-----------------------------------------------------
int u,v,q,sum,val;
char t[10];
int main()
{
scanf("%d",&n);
sum=0;
for(int i=1;i1,0);
memset(sz,0,sizeof(sz));
dfs2(1,1);
root[1]=1;
cnt=1;
build(tid[1],tid[1]+sz[1]-1,1,1);
scanf("%d",&q);
for(int i=1;i<=q;i++)
{
scanf("%s",t);
if(t[0]=='C')
{
read(u);
if(!col[u])
sum++;
else sum--;
col[u]^=1;
path.clear();
pathv.clear();
find_path(u);
modify(tid[1],tid[1]+sz[1]-1,root[1],path.size()-1,1);
}
else
{
if(sum==n)
printf("They have disappeared.\n");
else if(sum==n-1)
printf("0\n");
else
printf("%d\n",*ansx.rbegin());
}
}
} 一句话总结：
树链剖分就是将树形结构转化为线性结构，通过将树划分成许多条链然后再利用线段树等数据结构进行维护，后续操作与树本身并没有什么关系，即对原树不再进行修改。