魔法阵——数论

魔法阵——数论



题目来源

洛谷P2119


题目描述

六十年一次的魔法战争就要开始了,大魔法师准备从附近的魔法场中汲取魔法能量。

大魔法师有m个魔法物品,编号分别为1,2,…,m。每个物品具有一个魔法值,我们用Xi表示编号为i的物品的魔法值。每个魔法值Xi是不超过n的正整数,可能有多个物品的魔法值相同。

大魔法师认为,当且仅当四个编号为a,b,c,d的魔法物品满足xa < xb < xc < xd,Xb - Xa=2(Xd - Xc),并且xb-xa < (xc-xb)/3时,这四个魔法物品形成了一个魔法阵,他称这四个魔法物品分别为这个魔法阵的A物品,B物品,C物品,D物品。

现在,大魔法师想要知道,对于每个魔法物品,作为某个魔法阵的A物品出现的次数,作为B物品的次数,作为C物品的次数,和作为D物品的次数。

输入输出格式

输入格式:
输入文件的第一行包含两个空格隔开的正整数n和m。

接下来m行,每行一个正整数,第i+1行的正整数表示Xi,即编号为i的物品的魔法值。

保证,,。每个Xi是分别在合法范围内等概率随机生成的。

输出格式:
共输出m行,每行四个整数。第i行的四个整数依次表示编号为i的物品作 为A,B,C,D物品分别出现的次数。

保证标准输出中的每个数都不会超过10^9。

每行相邻的两个数之间用恰好一个空格隔开。

输入输出样例

输入样例#1:
30 8
1
24
7
28
5
29
26
24
输出样例#1:
4 0 0 0
0 0 1 0
0 2 0 0
0 0 1 1
1 3 0 0
0 0 0 2
0 0 2 2
0 0 1 0
输入样例#2:
15 15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
输出样例#2:
5 0 0 0
4 0 0 0
3 5 0 0
2 4 0 0
1 3 0 0
0 2 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 2 1
0 0 3 2
0 0 4 3
0 0 5 4
0 0 0 5
说明

【样例解释1】

共有5个魔法阵,分别为:

物品1,3,7,6,其魔法值分别为1,7,26,29;

物品1,5,2,7,其魔法值分别为1,5,24,26;

物品1,5,7,4,其魔法值分别为1,5,26,28;

物品1,5,8,7,其魔法值分别为1,5,24,26;

物品5,3,4,6,其魔法值分别为5,7,28,29。

以物品5为例,它作为A物品出现了1次,作为B物品出现了3次,没有作为C物品或者D物品出现,所以这一行输出的四个数依次为1,3,0,0。

此外,如果我们将输出看作一个m行4列的矩阵,那么每一列上的m个数之和都应等于魔法阵的总数。所以,如果你的输出不满足这个性质,那么这个输出一定不正确。你可以通过这个性质在一定程度上检查你的输出的正确性。


解题思路

  • 魔法值相同的魔法物品,他们作为 a、b、c、d 物品的次数也一定相同,那么我们就可以利用这一点来解题。
  • 维护数组 a[] b[] c[] d[] , a[i] b[i] c[i] d[i]分别表示的是魔法值为 i 的魔法物品作为 a b c d 物品的次数。由于题目中给的 n 范围较小,因此在这里我使用桶排序
  • 思考这样一个问题:
    • 假设存在一对 c d 物品,其对应的 a b 物品的个数分别表示为 ai bi 。那么这样的 a b c d 可以构成的魔法阵的个数为: ai * bi 。
    • 同样还是存在这样的一对 c d物品,由于 b 与 c 物品中间间隔的魔法值是不固定的,假设存在两组 a b , 其对应的物品个数分别为 a1i b1i a2i b2i 那么这样的 a b c d 可以构成的魔法阵的个数为 a1i * b1i + a2i * b2i
    • 以此类推,如果存在的a b的个数为 n ,则其对应的魔法阵的个数为 a1i * b1i + a2i * b2i + ···· + ani * bni
    • 那么我们就可以利用这个思想来进行前缀和的优化
  • 下面分析一下题目中所给的三个条件:
    • Xa<Xb<Xc<Xd
      说明这是一个单调递增的序列
    • XbXa=2(XdXc)
      XbXa<(XcXb)3
      可以得到 :
      2(XdXc)=XbXa
      XcXb>6(XdXc)
    • 如果设
      XdXc=t
      那么
      XbXa=2t
      XcXb>6t
  • 由于物品的魔法值只能取整数,通过上式中关于 t 的关系我们可以通过枚举 t 来计算魔法物品的出现次数
  • 如果我们将 t 按照从小到大的顺序枚举,那么对于相同的 t ,同样可以按照从小到大的次序枚举对应的 d 物品的位置.由于
    XcXb>6t
    因此在相同 t 值的情况下,魔法值较小的 c , d 物品对应的 a , b 物品同样可以与魔法值较大的 c’ , d’ 物品构成魔法阵。通过这个思想来进行前缀和优化
  • 通过枚举 d 物品的位置,得到对应的 c 物品的位置,利用上述方法计算前缀和得出此魔法值作为 c d 魔法物品出现的次数
  • 同理枚举 a 物品的位置,得到对应的 b 物品的位置,再次利用前缀和计算的出此魔法值作为 a b 魔法物品出现的次数

源代码

#include
using namespace std;
int n,m;
int v[40010],num[15010];
int a[15010],b[15010],c[15010],d[15010];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 1; i <= m; i ++){
        scanf("%d",&v[i]);
        num[v[i]]++;//桶排序
    }
    for(int t = 1; t * 9 < n; t++){ //枚举t
        int sum = 0;
        int va,vb,vc,vd;
        for(vd = t * 9 + 2; vd <= n; vd++){//枚举 d 物品的位置
            va = vd - 9 * t - 1;//a 物品的魔法值
            vb = vd - 7 * t - 1;//b 物品的魔法值
            vc = vd - t;//c 物品的魔法值
            sum += num[vb] * num[va]; //前缀和求能组成的魔法阵的个数
            c[vc] += num[vd] * sum;
            d[vd] += num[vc] * sum; 
        }
        sum = 0;
        for(va = n - t * 9 - 1; va >= 1; va--){//枚举 a 物品的位置
            vb = va + 2 * t;
            vc = va + t * 8 + 1;
            vd = va + t * 9 + 1;
            sum += num[vc] * num[vd];
            a[va] += num[vb] * sum;
            b[vb] += num[va] * sum;
        }
    }
    for(int i = 1; i <= m; i++)
        printf("%d %d %d %d\n", a[v[i]],b[v[i]],c[v[i]],d[v[i]]);
}

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