GCJ millionnare 概率DP

题目大意

开局持有本钱 X，进行 M 局赌局，每局有 P 的概率使所下赌注翻倍，1-P 的概率赌注全输，押注没有要求，可以全压或者不压，也可以压任意数量包括小数的赌注，要求在赌局结束时如果持有10万元及以上的钱就可以获胜。计算在采取最优策略时，获胜的概率。

输入 

按照 M P X 的顺序输入。

1,0.5，500000

输出

0.50000

 

分析

由于赌注的押注是任意的，这意味着有无限种可能性，表面看来无法利用穷举，不妨先进行几次模拟来探寻一下规律。

当只进行一轮时，本金与获胜关系为：

①X >=100万，必胜，概率 = 1；

②100万 >= X >= 50万 ，刚好获胜的情况是，设投入 Y (Y <= X )万元，则 (X-Y) + 2Y = 100 → X + Y = 100 , 当X = 50 时，Y = 50 概率 = P；当X > 50 时，只要至少投入100 - X 万元 ，那么一定有P的概率获胜，所以在这个区间内，获胜的最优概率都是一样的。（实际上就是连续数学的离散化，举几个例子就能确认）。

③50万 >= X >= 0，就算全押入，也必输，概率 = 0。

发现在一定区间内，本金与获胜概率存在对应关系。

当只进行二轮时，本金与获胜关系为：

先不急讨论，来看一下，不管第一轮本金多少，是输了还是赢了，最后的所持钱数仍然会属于进行一轮时的三个区间内，那么就可以得到一个倒推关系：若上一轮的押注翻倍，或者失败，则下一轮的本金 = 上一轮本金 ± 押注 ，而下一轮的本金与获胜关系的概率已经求出，那么 可以得到  该轮本金与获胜关系 = P * 下一轮本金与获胜概率(1) + (1-P) * 下一轮本金与获胜概率(2)。

(1) 表示 上一轮押注获胜 ，下一轮本金 = 上一轮本金 + 押注 存在自己的获胜概率P1，那么总概率为 P * P1;

(2) 表示 上一轮押注失败， 下一轮本金 = 上一轮本金 - 押注 存在自己的获胜概率P2，那么总概率为 (1-P) * P2;

举个例子：第一轮有本金 X = 75 万，若投入 25 万，那获胜概率为 (押注赢)P* (下一轮本金所在区间的概率)P(75 + 25);

或者 押注失败(1 - P)* (下一轮本金所在区间的概率)P(75 - 25)。

P(75) = P * P(75 + 25) + (1-P) * P(75 - 25) (两种情况的概率是相加，因为都属于75进行的押注操作)

那么显然，有了递推关系后可以考虑动态规划，而且我们可以发现 进行轮数 M 与 本金所分成的区间关系为 n = 2^M + 1;

规定 dp[i][j] 表示第 i 轮 本金处于第 j 区间的获胜概率 ，则 dp[i][j] = P * dp[i][j + k] + (1 - P) * dp[i][j - k]。  0 =< k <= min(i,n-i).

k其实表示押注后，若赢钱，那么相当于本金所处的区间变化了，并且是向本金区间增大或者减小的方向变化，且变化的上下限不超过min(i,n-i) (防止数组越界),注意要从0开始，及0的时候表示什么都不押。

下面给出代码：
 

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 15;
int m,x;
double p;
double dp[2][(1<>m>>p>>x;
	return;
}

int main()
{
	input();
	solve();
	return 0;
}