【人工智能学习】【二】Softmax与分类模型

Softmax回归

上篇文章线性回归本质上是回归问题。本篇要介绍的是一个分类问题。softmax回归是一个单层神经网络，在前一篇博客中，输入数据的维度是2，这里以Fashion-MNIST数据集为例，输入的是2828的图像。将2828的图像像素拉直，得到的是输入784维度的输入数据。所以本例当中输入数据的维度为784，那么上一篇文章中的$W$矩阵维度也就变成784维。
上篇文章线性回归当中，输出的是1维数据，在Softmax回归中，输出的是多维的数据，具体来说就是图片的类别，这个类别可能是猫、狗等。如果结果标签有10类，那么$W$矩阵的大小应该为784*10。

以输入维度4，输出维度3为例：
$$o_1=x_1{w}_{11}+x_2{w}_{21}+x_3{w}_{31}+x_4{w}_{41}+b_1$$
$$o_2=x_1{w}_{12}+x_2{w}_{22}+x_3{w}_{32}+x_4{w}_{42}+b_2$$
$$o_3=x_1{w}_{13}+x_2{w}_{23}+x_3{w}_{33}+x_4{w}_{43}+b_3$$

既然是分类问题，那么输出结果必然要体现数据的类别。这里只是简单的直接对计算结果进行了输出，我们可以简单的规定取$o_1$、$o_2$、$o_3$中最大的那个来决定类别。比如$o_1$、$o_2$、$o_3$值分别为0.1、100、1，我们就说样本$x$属于类别2。
直接对结果进行输出会带来两个问题：

1. 输出数据的范围无法确定
2. 由于类别是一个离散的标签，我们如何定义类别对应的输出结果的范围呢？比如猫属于1至10，狗属于10-100。

这里就要提到Softmax
$$y_i=\frac{e^i}{{\sum }_{j=1}^n{e}^j}，n=len(labels)$$
对照上例进行一下分解
$$\acute{o_1}=\frac{e^{o_1}}{e^{o_1}+e^{o_2}+e^{o_3}}$$
$$\acute{o_2}=\frac{e^{o_2}}{e^{o_1}+e^{o_2}+e^{o_3}}$$
$$\acute{o_3}=\frac{e^{o_3}}{e^{o_1}+e^{o_2}+e^{o_3}}$$
这样的好处是将输出限定在$[0,1]$范围内，最后分类结果以概率形式输出。显然$\acute{o_1}+\acute{o_2}+\acute{o_3}=1$
最终得到的是如下式子
$$o^i=x^{i}W+b$$
$$\acute{y^i}=softmax(o^i)$$
X取小批量的话
$$O=XW+b$$
$$\acute{Y}=softmax(O)$$

交叉熵损失函数

在分类问题中，不需要精确计算类别的概率，只需要被预测的类别的概率比其他的高就可以。是一种非精确的预测。这种特点使得使用更适合衡量两个概率分布差异的测量函数，交叉熵损失函数。交叉熵描述的是实际输出的概率和预期应输出的概率之间的距离
$$H=-\sum _{x}p(x)logq(x)$$
比如预期输出$p=(1,0,0)$，每次mini-batch取2，实际输出$q_1=(0.5,0.2,0.3)，q_2=(0.8,0.1,0.1)$，那么
$H_1(p,q_1)=-(1\ast log0.5+0\ast log0.2+0\ast log0.3)=0.3$
$H_2(p,q_2)=-(1\ast log0.8+0\ast log0.1+0\ast log0.1)=0.1$
再取平均熵
$$\frac{0.3+0.1}{2}=0.2$$
交叉熵还有另一种形式
$$H=-\sum _x(p(x)logq(x)+(1-p(x))log(1-q(x)))$$

pytorch代码

手写实现

Fashion-MNIST数据集获取
torchvision包是PyTorch深度学习框架中用来构建计算机视觉模型的工具，主要由以下几个模块构成：

1. torchvision.datasets: 一些加载数据的函数及常用的数据集接口；
2. torchvision.models: 包含常用的模型结构（含预训练模型），例如AlexNet、VGG、ResNet等；
3. torchvision.transforms: 常用的图片变换，例如裁剪、旋转等；
4. torchvision.utils: 其他的一些有用的方法。

包引入

from IPython import display
import matplotlib.pyplot as plt

import torch
import torchvision
import torchvision.transforms as transforms
import time
import numpy as np

import sys
sys.path.append("/home/kesci/input")
import d2lzh as d2l

获取数据集，下载到本地

mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(root='/home/kesci/input/FashionMNIST2065', train=True, download=True, transform=transforms.ToTensor())
mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(root='/home/kesci/input/FashionMNIST2065', train=False, download=True, transform=transforms.ToTensor())

如果没有参数transform=transforms.ToTensor()，则读取出来的是PIL类型的图片

class torchvision.datasets.FashionMNIST(root, train=True, transform=None, target_transform=None, download=False)
root（string）– 数据集的根目录，其中存放processed/training.pt和processed/test.pt文件。
train（bool, 可选）– 如果设置为True，从training.pt创建数据集，否则从test.pt创建。
download（bool, 可选）– 如果设置为True，从互联网下载数据并放到root文件夹下。如果root目录下已经存在数据，不会再次下载。
transform（可被调用 , 可选）– 一种函数或变换，输入PIL图片，返回变换之后的数据。如：transforms.RandomCrop。
target_transform（可被调用 , 可选）– 一种函数或变换，输入目标，进行变换。

# 我们可以通过下标来访问任意一个样本
feature, label = mnist_train[0]
print(feature.shape, label)  # Channel x Height x Width

torch.Size([1, 28, 28]) 9

# 数字标识的类别与具体描述的映射
def get_fashion_mnist_labels(labels):
    text_labels = ['t-shirt', 'trouser', 'pullover', 'dress', 'coat',
                   'sandal', 'shirt', 'sneaker', 'bag', 'ankle boot']
    return [text_labels[int(i)] for i in labels]

读取本地的数据集

# 读取数据训练集和测试集
batch_size = 256
num_workers = 4

train_iter = torch.utils.data.DataLoader(mnist_train, batch_size=batch_size, shuffle=True, num_workers=num_workers)
test_iter = torch.utils.data.DataLoader(mnist_test, batch_size=batch_size, shuffle=False, num_workers=num_workers)

模型初始化

# 10类，每张图的像素数28*28=784
num_inputs = 784
num_outputs = 10

W = torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, (num_inputs, num_outputs)), dtype=torch.float)
b = torch.zeros(num_outputs, dtype=torch.float)
W.requires_grad_(requires_grad=True)
b.requires_grad_(requires_grad=True)

W的shape
torch.Size([784, 10])
b的shape
torch.Size([10])

定义softmax

def softmax(X):
	# 对X矩阵中的每一个元素进行e的幂操作
	# 输入的X
	#tensor([[0.0094, 0.3445, 0.2100, 0.7920, 0.7117],
    #    [0.8559, 0.2465, 0.4939, 0.7290, 0.2683]])
    #输出的X_exp 
	#tensor([[1.0095, 1.4113, 1.2337, 2.2078, 2.0374],
    #    [2.3536, 1.2796, 1.6386, 2.0730, 1.3078]])
    X_exp = X.exp()
    # 按照相同的行求和，并在结果中保留行特征，输出的结果是n*1的矩阵。如果keepdim=False，输出的是1*n的矩阵
    partition = X_exp.sum(dim=1, keepdim=True)
    # print("X size is ", X_exp.size())
    # print("partition size is ", partition, partition.size())
    return X_exp / partition  # 这里应用了广播机制

利用上面的softmax定义网络

def net(X):
    return softmax(torch.mm(X.view((-1, num_inputs)), W) + b)

定义交叉熵（待优化）

def cross_entropy(y_hat, y):
    return - torch.log(y_hat.gather(1, y.view(-1, 1)))

定义准确率

def accuracy(y_hat, y):
    return (y_hat.argmax(dim=1) == y).float().mean().item()

def evaluate_accuracy(data_iter, net):
    acc_sum, n = 0.0, 0
    for X, y in data_iter:
        acc_sum += (net(X).argmax(dim=1) == y).float().sum().item()
        n += y.shape[0]
    return acc_sum / n

训练模型

num_epochs, lr = 5, 0.1

# 本函数已保存在d2lzh_pytorch包中方便以后使用
def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size,
              params=None, lr=None, optimizer=None):
    for epoch in range(num_epochs):
        train_l_sum, train_acc_sum, n = 0.0, 0.0, 0
        for X, y in train_iter:
            y_hat = net(X)
            l = loss(y_hat, y).sum()
            
            # 梯度清零
            if optimizer is not None:
                optimizer.zero_grad()
            elif params is not None and params[0].grad is not None:
                for param in params:
                    param.grad.data.zero_()
            
            l.backward()
            if optimizer is None:
                d2l.sgd(params, lr, batch_size)
            else:
                optimizer.step() 
            
            
            train_l_sum += l.item()
            train_acc_sum += (y_hat.argmax(dim=1) == y).sum().item()
            n += y.shape[0]
        test_acc = evaluate_accuracy(test_iter, net)
        print('epoch %d, loss %.4f, train acc %.3f, test acc %.3f'
              % (epoch + 1, train_l_sum / n, train_acc_sum / n, test_acc))

train_ch3(net, train_iter, test_iter, cross_entropy, num_epochs, batch_size, [W, b], lr)

模型预测

X, y = iter(test_iter).next()

true_labels = d2l.get_fashion_mnist_labels(y.numpy())
pred_labels = d2l.get_fashion_mnist_labels(net(X).argmax(dim=1).numpy())
titles = [true + '\n' + pred for true, pred in zip(true_labels, pred_labels)]

d2l.show_fashion_mnist(X[0:9], titles[0:9])

torch实现

引入包

# 加载各种包或者模块
import torch
from torch import nn
from torch.nn import init
import numpy as np
import sys
sys.path.append("/home/kesci/input")
import d2lzh as d2l
from collections import OrderedDict

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size, root='/home/kesci/input/FashionMNIST2065')
num_inputs = 784
num_outputs = 10

class LinearNet(nn.Module):
    def __init__(self, num_inputs, num_outputs):
        super(LinearNet, self).__init__()
        self.linear = nn.Linear(num_inputs, num_outputs)
    def forward(self, x): # x 的形状: (batch, 1, 28, 28)
        y = self.linear(x.view(x.shape[0], -1))
        return y
    
# net = LinearNet(num_inputs, num_outputs)
class FlattenLayer(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(FlattenLayer, self).__init__()
    def forward(self, x): # x 的形状: (batch, *, *, ...)
        return x.view(x.shape[0], -1)

net = nn.Sequential(
        # FlattenLayer(),
        # LinearNet(num_inputs, num_outputs) 
        OrderedDict([
           ('flatten', FlattenLayer()),
           # 或者写成我们自己定义的LinearNet(num_inputs, num_outputs) 也可以
           ('linear', nn.Linear(num_inputs, num_outputs))]) 
        )

# 初始化模型参数
init.normal_(net.linear.weight, mean=0, std=0.01)
init.constant_(net.linear.bias, val=0)

# 定义损失函数
loss = nn.CrossEntropyLoss() # 下面是他的函数原型
# class torch.nn.CrossEntropyLoss(weight=None, size_average=None, ignore_index=-100, reduce=None, reduction='mean')

# 定义优化函数
optimizer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1) # 下面是函数原型
# class torch.optim.SGD(params, lr=, momentum=0, dampening=0, weight_decay=0, nesterov=False)

# 训练
num_epochs = 5
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size, None, None, optimizer)

参考文章

1. 全面理解softmax与交叉熵
2. d2lzh包