【数论】快速分解质因数的技巧 && 筛法求素数（快速筛）

快速分解质因数

在做题时经常遇到要分解质因数，那么如何快速分解质因数呢？

在用筛法求素数时，我们使用线性筛的方法，并在每次筛的过程中，记录下每个数的最小质因数。那么在分解质因数的时候，只需要不断除以当前数的最小质因数，就可以快速得到分解的质因数了。

给出一个简单的例子，比如我们要求 50 这个数的质因数：

首先，利用线性筛找到所有的素数，并记录非素数的最小质因数，然后再将数字 50 除以他的最小质因子（也就是2）得到 25，然后再将数字 25 除以他的最小质因子（也就是5）得到 5，到这为止就做完啦，50 的质因数就是 2 和 5。

筛法求素数

一般的线性筛法

这种方法比较好理解：初始时，假设全部都是素数，当找到一个素数时，显然这个素数乘上另外一个数之后就一定是合数(注意上面的 ii , 比 i2 要快点 )，把这些合数都筛掉，即算法名字的由来。 但仔细分析能发现，这种方法会造成重复筛除合数，影响效率。比如10，在 i = 2 的时候，k = 215 筛了一次；在 i=5，k=56 的时候又筛了一次。所以，也就有了快速线性筛法。

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void make_prime() { memset(prime, 1, sizeof(prime)); prime[0] = prime[1] = 0; for(int i = 2; i < n; i++) { if(prime[i]) { primes[++cnt] = i; for(int j = i * i; j < n; j += i) prime[j] = 0; } } return; }

快速线性筛法

快速线性筛法没有冗余，不会重复筛除一个数，所以“几乎”是线性的，虽然从代码上分析，时间复杂度并不是O(n)。

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void GetPrime() { for(int i = 2; i < n; i++) { if(!NotPrime[i]) prime[num_prime++] = i; for(int j = 0; j < num_prime && i * prime[j] < n; j++) { NotPrime[i*prime[j]] = 1; if(i % prime[j] == 0) break; } } }