【离散数学】图论基础知识

1 图的基本概念

无向图：

简而言之，边不带方向的图就是无向图。
有向图：

简而言之，边带方向的图就是有向图。
特殊定义：

有限图：边数和顶点数都是有限个的图。
n阶图：n个顶点的图。
零图：没有边的图。
平凡图：只有一个顶点，而且没有边的图（1阶零图）。
空图：没有顶点的图（自然也没有边，空图也是零图）。

环：边的两头都是同一个顶点，这个边就是环。
孤立点：没有边连着的点。
无向图顶点的度：
顶点的度：一个顶点有几个边连接着，就是几度(注意，环会提供两度）。
悬挂顶点：度数为1的顶点。
悬挂边：悬挂顶点连着的那个边。
最小度：一个图中各顶点度数中最小的数值。
最大度：一个图中各顶点度数中最大的数值。
有向图顶点的度

出度：从一个顶点出去的边的边数。
入度：从外面进一个顶点的边数。
总度数：总度数=入度+出度。
最大入度：图中所有顶点中入度最大的数值。
最大出度：图中所有顶点中出度最大的数值。
最小入度：图中所有顶点中入度最小的数值。
最小出度：图中所有顶点中出度最小的数值。
握手定理

图的顶点度数和数量是边数的2倍，证明很显然，一个边会提供两度。

由握手定理推出的推论，图的奇度顶点为偶数个。证：如果有奇数个奇度顶点，那么图的总度数必定为奇数，而根据握手定理，总度数必定为偶数，矛盾。
度数列

度数列就是将一个图中所有顶点的度按一定顺序写出来。注意：判断一个数列是否能构成度数列，先看是否满足握手定理推论(偶数个奇度顶点）。
简单图

简单图：不存在平行边的图，即每两个顶点之间最多只有一条边。
完全图和正则图

无向完全图就是任一个顶点都与其他所有顶点之间有边，边数：n(n-1)/2，最大度=最小度=n-1，记作Kn。
k—正则图：每个顶点都是k度的无向简单图。
圈图和轮图

圈图Cn就是围成一个圈的图，轮图Wn就是在圈图Cn-1中放一个点，再把这个点和其它所有点连起来。（注：圈图顶点数>=3，轮图顶点数>=4）
子图

子图：从母图中选一些点和边构成的图就是该母图的子图。
生成子图：删边不删点。
导出子图：选母图中一些点构成点集，这些点和以它们为端点的边构成的图就是这个这个点集的导出子图；选母图中一些边构成边集，这些边和与它们关联的顶点构成的图就是这个这个边集的导出子图；
补图

补图：将原图补成完全图，再将原图中有的边删掉，就是补图。
图的同构

同构：同构就是指同一个图的不同画法。找非同构的方法就是根据条件找到不同的度数列，然后试着画出不同结构的图（类似有机化学中找同分异构体）。

2 图的连通性

通路和回路

简单回路：回路中所有边各异。初级回路（圈）：回路中所有点各异（自然，边也各异，所以初级回路是简单回路）。

无向图的连通性和连通分支

连通就是两点之间有通路（能从一点走到另一点）；连通图就是任意两点都连通的图（特别的，平凡图是连通图）；连通分支就是图中的一个不跟其它部分连通的部分，连通图只有一个连通分支。
短程线和距离

短程线就是两点之间最短的通路，其长度称作距离。
点割集和边割集

点割集：删掉图中的一些点后，图的连通分支数增加，且这些点缺一不可，这些点的集合就是点割集，如果点割集只有一个点，这个点叫做割点；边割集：删掉图中的一些边后，图的连通分支数增加，且这些边缺一不可，这些边的集合就是边割集，如果边割集只有一个点，这个点叫做割边或桥。
点连通度和边连通度

点割集的元素数就是点连通度，如果没有点割集就是（总顶点数-1）；边割集的元素数就是边连通度。
有向图的弱连通与强连通

弱连通就是有向图忽略方向以后为连通图，强连通就是有向图中任意两个顶点相互可达。

3 图的矩阵表示

无向图的关联矩阵

无向图关联矩阵：行代表边，列代表顶点。数值为0代表不关联，1代表关联，2代表成环。特殊性质：每一列的和为2，因为每一列代表一个边所关联的顶点，一个边关联两个顶点；每一行的和该顶点的度，显而易见；所有数加起来是边数的二倍,因为根据握手定理，总度数之和为边数的二倍。
有向无环图的关联矩阵


有向无环图关联矩阵：行代表边，列代表顶点。数值为1代表边从顶点出去，0代表不关联，-1代表边从顶点进来。
邻接矩阵



行和列都是顶点，矩阵数值是列对应顶点邻接到行对应顶点的边的条数。
利用邻接矩阵求各个长度的通路和回路数量

说明:A^n中的元素表示一个顶点到另一个顶点之间距离为n的通路数。所以可以通过矩阵乘法求邻接矩阵的n次方求有向图中的通路和回路数。例：

可达矩阵

可达矩阵；矩阵的行和列都是顶点，只要一个顶点可达另一个顶点，就为1，否则是0，无向图连通当且仅当这个图的可达矩阵的元素全为1，有向图强连通当且仅当这个图的可达矩阵的元素全为1。
邻接矩阵转可达矩阵的方法
假设图的顶点数为n，由邻接矩阵(A)计算可达矩阵§的方法如下：
1.B = A + A ^ 2 + … + A ^ (n-1);
2.将B的对角线元素全变成1，将B的非零元素全变为1.

4 几种特殊的图

4.1 二部图

二部图定义

二部图：如果能将一个图的所有顶点分为两份，图中的所有边的两个端点一个再一份里，一个在另一份里，这样的图就叫做二部图。完全二部图就是图中每一个顶点都跟另一份中的所有顶点相邻的二部图。
二部图的判别定理（充要条件）

证明如下：

染色法判断二部图
染色法：从图的一个顶点开始，将它染成红色，所有与它邻接的顶点染成白色，所有与刚刚染成红色的顶点相邻的顶点染成红色，如此反复，如果能不冲突地将图中所有点都染上色，说明这个图是二部图，举例如下：

匹配

匹配：在二部图中选一部分互不相邻的边，这些边就是原二部图的一个匹配。
极大匹配：如果在已经选好的匹配中，再加任意一条边都不再是匹配，那么这个匹配就是极大匹配。
最大匹配：一个图中边数最多的匹配(最大匹配是极大匹配)。
完备匹配：如果V1 完美匹配：V1=V2，匹配中的边数与V1,V2相等。
存在完备匹配的条件

Hall定理：有完备匹配当且仅当任取V1中K个顶点，这K个顶点至少和V2中的K个顶点相邻。(充分必要条件）

t条件：二部图中能找到这样的正整数t，使得V1中每个顶点至少关联t条边，V2中每个顶点至多关联t条边，则有完备匹配。（充分非必要条件）
二部图的应用 (完备性问题)
可以将匹配、完备问题建模成二部图问题，然后使用Hall定理或者t条件来解决，例：

本题是一个完备性问题，化成二部图以后找完备匹配即可。

（1）可用t条件找到t=2，（2）找不到t，但是满足相异性条件，(3)找不到t，且不满足相异性条件。

4.2 欧拉图

欧拉图定义

图中能找到一个经过所有边仅一次，且经过所有顶点的回路，这个图就是欧拉图。（欧拉回路是简单回路，但不一定是初级回路，也就是说同一顶点可以多次经过)。
无向图的欧拉图判定定理

无向图是连通的，而且没有奇度顶点，就有欧拉回路，就是欧拉图。图是连通的，且仅有两个奇度顶点，就有欧拉通路，但没有欧拉回路。
有向图的欧拉图判定定理

有向图是连通的，而且所有顶点入度等于出度，就有欧拉回路，是欧拉图。是连通且一个顶点入度比出度大1，一个顶点出度比入度大1，其余入度等于出度，就有欧拉通路。
欧拉图的应用（一笔画问题）

戈尼斯堡七桥不能不重复的走完，因为有BCD三个奇度顶点，所以无欧拉通路。

4.3 哈密顿图

哈密顿图定义

图中能找到过所有顶点且仅过一次的回路，那么这个图就是哈密顿图（对边无要求）
显然哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路，特别的，定义平凡图是哈密顿图。
哈密顿图的必要条件

如果一个图是哈密顿图，那么删去这个图中n个顶点后，所得图的连通分支数一定p<=n。该定理是哈密顿图的必要条件，一般用来证明一个图不是哈密顿图，即找到一个有n个顶点的点集，删去以后剩下的图的连通分量数大于n，那么这个图一定不是哈密顿图，如下图中:

（a）删去红色点后有两个连通分量，不是哈密顿图，实际上有割点的图不是哈密顿图，（b）删去5个红点以后有6个连通分量，不是哈密顿图。一般来说使用该定理时优先删去度数大的顶点。
哈密顿回路（通路）的充分条件

简单无向图中，任两个不相邻的顶点度数和>=n-1则有哈密顿通路，>=n则有哈密顿回路。如果简单无向图的最小度>=n/2，则是哈密顿图，如果一个有向图略去方向以后所得无向图中含有子图Kn（n阶完全图），则有哈密顿通路。
哈密顿图的应用（周游问题）

先将本题转化成图论问题，将每个人看作点，如果两个人能交谈，就连上边，画出图以后，如果能找到哈密顿回路，那么就能坐成一圈。

4.4 平面图

平面图的定义

平面图的概念比较抽象：如果一个图可以边不相交地画在平面上，那么就是平面图。如果无论怎么话都无法使边不相交，就不是平面图，如下图：

(1)虽然有边相交，但是一个图并没有规定画成什么样子，只要顶点个数，边的个数，顶点和边之间的关联不变，那么两个图就是同构的，（1）的一种同构为（2），边不相交，所以图（1）是平面图，（2）是（1）的平面嵌入。（3）（4)同理。
平面图的面和次数

对于面的边界的判断容易出错，如下：

注意到外部面R0的边界中，d应该记作两次，因为面的边界是以回路定义的；两个不同的回路之间要用逗号隔开。
平面图面的次数和与边数的关系

极大平面图

简单平面图中，任意再加一条边就不是平面图了，这个平面图就是极大平面图。
极大平面图的充分必要条件

一个图是极大平面图的充要条件是它的所有面的次数都是3，注意外部面的次数也应该是3.
平面图欧拉公式

一个连通的平面图里，顶点数-边数+面数=2。

更一般地：在有多个连通分支时，顶点数-边数+面数=连通分支数+1。

注意：此处的l是面次最小值。利用该定理可以证明不是平面图，例如：

平面图的充要条件（库拉图斯基定理）

首先说明什么是同胚和收缩：

同胚就是两个图同构，或者经过反复插入消去二度顶点后同构。
收缩就是将两个点之间的边删掉，然后将这两个点“捏”到一起，变成一个点。
库拉图斯基定理就是：图是平面图当且仅当这个图不与K5,K3,3同胚，也无可收缩为K5，K3,3的子图。库拉图斯基定理比较难理解，通过如下 实例可便于理解：

一般来说，如果一个图含与K5,K3,3同胚的子图，那么也含能收缩到K5，K3,3的子图。因为收缩比同胚要直观，所以这里用收缩来解释这两道例题：
第一个图可以先删除图中所有黑色的边，之所以可以删除，是因为我们要找的是可以收缩为K5或K33的子图，然后最上和最下两个顶点可以收缩到左边相邻的顶点（也可以理解成删除这个点），最后就得到了K3,3，所以不是平面图；第二个图同理，删除两条黑边，然后收缩最下面的两个点到相邻的点（也可以理解成删除这个点），最后收缩成了K5，所以不是平面图。
对偶图

简而言之，对偶图就是，原图的点变成面，面变成点。为了实现这个变换，将原图中的每个面（包括外部面）中画一个点，如果两个面原来相邻，那就通过每一条相邻边都画一条新的线来连接新的两个点，最后画出来的图就是对偶图，如下图所示：

实线和空心点是原图，红色虚线和实心点是对偶图。
对偶图的性质


桥变环，环变桥，边数不变，顶点数和面数互换，面的次数对应点的度数。

5 无向树

无向树的定义

如果一个图是连通的而且没有回路，这个图就是树。
无向树的性质

以下三条任意满足两条，图就是树：
1.连通
2.无回路
3.m=n-1

6 生成树

生成树的定义
一个无向连通图的生成子图（删边不删点）如果是树，这个树就是这个点的生成树。
生成树的存在性

无向连通图都有生成树，可用破圈法证明。
最小生成树

总权值最小的生成树就是最小生成树。找最小生成树的方法如下：
克鲁斯卡尔算法

简而言之，从权最小的边开始按从小到大开始选择，如果不与已经选好的边构成回路，就选择这条边，直到对所有边的选择结束，就找到了最小生成树。例：

红色为选择的，黑色是不选择的，注意，环不选择，如果有权值一样的边，则随便选择一个，然后选择另一个。