埃尔米特多项式 (Hermite Polynomials)简介(1)

最近在做一个数值逼近的算法,里面用到了埃尔米特多项式。所以就花了些时间推导了一遍,推导笔记放在这里算是给自己做个备忘。

埃尔米特多项式 (Hermite Polynomials)简介(1)

埃尔米特多项式是一组正交的多项式。就如许多其他的以人名命名的数学公式一样,埃尔米特多项式其实也并不是埃尔米特第一个提出的。 Laplace 在 1810 年一篇论文中就给出了埃尔米特多项式的系数,Chebyshev 则在 1859 年的一篇论文中详细的讨论了埃尔米特多项式的各种性质。可惜 Chebyshev 的这篇论文并没有引起学术圈应由的重视。 Charles Hermite 在 1864 年的一篇文章中才提到埃尔米特多项式,这已经比 Laplace 最初的研究成果晚了 54 年。

由于物理学家的小圈子与数学家的小圈子相对独立,现在有两种定义略有不同的埃尔米特多项式。一种被称为“统计学家的埃尔米特多项式”,另一种的被称为“物理学家的埃尔米特多项式”。这两种埃尔米特多项式的系数是有联系的,这里我只介绍“物理学家的埃尔米特多项式”。

前 10 个 埃尔米特多项式如下:

H0(x)H1(x)H2(x)H3(x)H4(x)H5(x)H6(x)H7(x)H8(x)H9(x)H10(x)===========12x4x228x312x16x448x2+1232x5160x3+120x64x6480x4+720x2120128x71344x5+3360x31680x256x83584x6+13440x413440x2+1680512x99216x7+48384x580640x3+30240x1024x1023040x8+161280x6403200x4+302400x230240

由微分方程引入埃尔米特多项式

常微分方程:

y′′2xy+2ny=0, (nN+)

被称为 埃尔米特 方程。

x=0 是埃尔米特方程的常点,所以这个微分方程的解可以在 x=0 的邻域表示为泰勒级数:

y=k=0akxk

对这个级数求导可以得到:

y=k=1kakxk1y′′=k=2k(k1)akxk2

带入埃尔米特方程得到:

k=2k(k1)akxk22k=1kakxk+2nk=0akxk=0

考察 x0 的系数,有:

2a2x0+2na0x0=0

所以:

a2=na0

考察 x1 的系数,有:

32a3x12a1x1+2na1x1=0

所以

a3=22n6a1

考察 xm 的系数,有:

(m+2)(m+1)am+2xm2mamxm+2namxm=0

所以:

am+2=2m2n(m+2)(m+1)am

不难看出,对于偶次项,有:

a2m=m1p=0(4p2n)(2m)!a0

对于奇次项,有:

a2m+1=mp=1(4p22n)(2m+1)!a1

可以看出奇数和偶数是两套独立的递推系数,因此可以这样写:

y(x)=a0y0(x)+a1y1(x)

y0(x) 只含有 x 的偶次项, y1(x) 只含有 x 的奇次项。

n 是偶数时, y0(x) 只有有限项,只要我们将 a1 设为 0 ,那么 y(x) 就退化为多项式了。
同理,当 n 是奇数时, y1(x) 只有有限项,只要我们将 a0 设为 0 ,那么 y(x) 就退化为多项式了。

按照这个思路,选择合适的 a0 a1 ,可以使得多项式的最高次为 (2x)n :
n=0 时, y(0)=a0=1
n=1 时, y(0)=a1x=2x
n=2 时, y(0)=a0(12x2)=4x22
n=3 时, y(0)=a1(x23x3)=8x312x
n=4 时, y(0)=a0(14x2+43x4)=16x448x2+12

这正是我们的埃尔米特多项式。

埃尔米特多项式的母函数和递推公式

上面的方式虽然推导出了埃尔米特多项式,但是用起来并不方便。实际上,函数 Ψ(t,x)=exp(2txt2) t=0 处的泰勒展开可以写为:

Ψ(t,x)=exp(2txt2)=n=0Hn(x)tnn!

其中的系数 Hn(x) 就是埃尔米特多项式。下面我们就来证明这个结论。
首先,容易验证:

Ψ(t,x)x=2tΨ(t,x)Ψ(t,x)t+2(tx)Ψ(t,x)=0

Ψ(t,x) 的泰勒展开带入上面的两个式子:

n=0Hn(x)tnn!=n=02Hn(x)tn+1n!n=0Hn(x)tn1(n1)!+2(tx)n=0Hn(x)tnn!=0

比较两边 t 的同幂项,得到:

H0(x)=0Hn(x)=2nHn1(x)Hn+1(x)+2nHn1(x)2xHn(x)=0

所以 :

H0(x)=c0H1(x)=2x+c1

可知, Hn(x) 确实是多项式。继续推导可知:

Hn(x)2xHn1(x)+2(n1)Hn2(x)=0Hn(x)xnHn(x)+Hn1(x)=0Hn(x)xnHn(x)+12nH′′n1(x)=0H′′n1(x)2xHn(x)+2nHn(x)=0

最后这个式子就是埃尔米特方程,而埃尔米特方程的多项式解只能是埃尔米特多项式。

上面的推导过程中同时还给出了埃尔米特多项式的递推公式:

Hn(x)2xHn1(x)+2(n1)Hn2(x)=0

有了这个递推公式,再计算埃尔米特多项式就容易多了。

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