机器学习（8）--PCA算法及python中sklearn模块实现
吴恩达ML课程课后总结，以供复习、总结、温故知新，也欢迎诸位评论讨论分享，一起探讨一起进步：
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当特征数量很大时，可能就有特征代表的含义冗杂，如果特征高度相关，就需要进行降维。(不局限于无监督学习，在监督学习中同样可以运用）
降维可以对数据进行压缩，节省内存，也可让数据可视化。（说白了，降维的目的就是为了加快运行速度节省内存，但是会损失一定的数据信息，因为只能可视化展示1，2，3维数据，高维不能展示所以把高维的降成低维的就可以展示了）
降维的最最基本思想就是采用投影的方式。PCA（principal components analysis）主成分分析是降维采用的算法之一。
PCA主成分分析算法：找到一个低维平面（二维转一维问题中就是直线）使各数据到低维平面的正交（垂直）距离平方最小，这个距离也称为投影误差。（举例如下图，二维转一维，找到一条直线使点到直线的正交距离蓝色线段最短，投影误差最小）
N维转N-1维即找到N-1个向量构成向量子空间，进行降维（如下图，三维转二维，得到两个u(1)，u(2)向量构成向量子空间，这里是一个平面作为降维结果）
PS:与线性回归的差别，下左图为线性回归，纵坐标为y，计算的是实际的点与计算的点的差值即y坐标差值,下右图为PCA，计算的是点到低维空间（由于2维转一维，所以是直线)正交长度即投影误差的长。
在进行PCA算法时一般先进行特征缩放（下图是一种特征缩放的方式，计算均值再把xj换成xj-均值，当然也可以用统计量x-μ/s进行特征缩放，只是在使用验证集时别忘了同样要缩放哦），进行协方差矩阵计算就能找到对应的N-1个向量子空间向量
协方差矩阵计算，Σ是协方差矩阵，不是求和：
主流编程语言都有库函数来计算矩阵U（矩阵U由u(1),u(2)组成，就是向量子空间的对应向量），若要缩放成K维就取前K列即可。
简单描述其他资料协方差的理解：PCA的目的就是“降噪”（噪声是干扰，比如与真实相差很多的数据，不符合实际情况，方差越小噪声越小）和“去冗余”（某些维度相关性强，冗余）。协方差矩阵度量的是维度与维度之间的关系，以两个特征为例，COV(X,Y)，若协方差为正则正相关，为负则负相关，为0则独立，利用这一点性质进行去冗杂。协方差矩阵的主对角线上的元素是各个维度上的方差，让保留下的不同维度间的相关性尽可能小，也就是说让协方差矩阵中非对角线元素都基本为零。
上面提到过k（高维降成k维）主成分数量的选择：看方差保留百分比，方差表示的是相关信息
算法：从k=1开始计算方差保留百分比，达标即可
应用建议：训练集得到Ureduce，在测试集或者验证集时要记得对应变换（等同于特征缩放时训练集缩放，测试集同样的）
PCA不适用于防止过拟合，因为会损失方差信息，尽管很少，但有可能损失有价值的信息，过拟合推荐正则化
做计划时不要把PCA考虑在内，因为PCA的作用是数据压缩和可视化，除非内存不足够支撑或者速度太慢，一般都先采用直接使用原始数据进行算法训练，毕竟PCA会损失方差信息。
因为PCA算法适用于任何算法的前置数据处理，本来是准备放在神经网络或者SVM算法前进行PCA处理后再看一下结果，但合计了一下，PCA算法只提供加速和减少内存的功能并不能对运行结果有所影响（降维降的太狠结果会更差），所以就不采用PCA算法练习了，这里稍微说明下python中使用sklearn模块对PCA算法的运用：
官网实例，将二维数据降为一维数据：
参数n_components表示保留的特征数，默认为1。如果设置成‘mle’,那么会自动确定保留的特征数
>>> X = np.array([[-1, -1], [-2, -1], [-3, -2], [1, 1], [2, 1], [3, 2]])
>>> pca = PCA(n_components=2) # 自动设置参数可这样写：pca=PCA(n_components='mle')
>>> pca.fit(X)
PCA(copy=True, n_components=2, whiten=False)
>>> print(pca.explained_variance_ratio_)
[ 0.99244... 0.00755...]