bzoj 4833: [Lydsy1704月赛]最小公倍佩尔数

前言

上午模拟赛考了这个题
虽然之前做过，但是忘得差不多了
最后一步什么构造函数的完全没印象，可能因为这玩意实在不常见
于是yy了半天，得到一个可能更为简单的做法，至少不需要构造函数，在这里记录一下
感觉很多yy出来的好东西都没有记录，然后忘了，实在可惜

题解

首先，$lcm$转$gcd$方面的前置知识就不再赘述
这个方面似乎没有方法简化了
直接得到模型吧
就是$\Pi f(gcd(a_i,a_{i+1......}){)}^{(-1{)}^{}|T+1|}$
不难想到一个暴力DP
$f_{i,j}$表示前i个数，当前的$gcd$是$j$的带系数的个数和
然后考虑一个$i$在不在转移即可
但是这样是$O(n^2)$的

考虑$h(i)$表示$[1,i]$里面，枚举的子集当中$i$必须选的积
那么$g_i$显然就是$g_{i-1}\ast h_i$
问题就是$h(i)$怎么求
我们对于一个子集，把他的贡献算在他最大的元素$j$上
设$(i,j)=d$
假如$j=d$，那么其实加不加入i，对于这个集合的gcd没有任何影响，只不过指数的$T$加了1
于是乘上$d(j)$的倒数即可
否则，我们可以把$j$的子集分为两类，一个是有$d$的一个是没有$d$的，显然这两类个数相同且互为倒数，因此答案是1，也就是不需要转移
于是得到$d$的递推式
$d(i)={\Pi }_{j|i}\frac{1}{d(j)}$
特殊的，当$j=i$的时候贡献就是$f(i)$

然后就没有了
代码也很好写
CODE:

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1000005;
int MOD;
int add (int x,int y)   {x=x+y;return x>=MOD?x-MOD:x;}
int mul (int x,int y)   {return (LL)x*y%MOD;}
int dec (int x,int y)   {x=x-y;return x<0?x+MOD:x;}
int Pow (int x,int y)
{
	if (y==0) return 1;
	if (y==1) return x;
	int lalal=Pow(x,y>>1);
	lalal=mul(lalal,lalal);
	if (y&1) lalal=mul(lalal,x);
	return lalal;
}
int T;
int n;
int f[N];
int g[N];
int main()
{
	freopen("number.in","r",stdin);
	freopen("number.out","w",stdout);
	scanf("%d",&T);
	while (T--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&MOD);
		f[1]=1;f[2]=2;for (int u=3;u<=n;u++) f[u]=add(f[u-2],add(f[u-1],f[u-1]));
		for (int u=1;u<=n;u++) g[u]=f[u];g[0]=1;
		int ans=0; 
		for (int u=1;u<=n;u++)
		{
			int Inv=Pow(g[u],MOD-2);
			for (int i=u+u;i<=n;i+=u) g[i]=mul(g[i],Inv);
			g[u]=mul(g[u],g[u-1]);
			ans=add(ans,mul(u,g[u]));
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}