剑指Offer10-I.斐波那契数列

原题LeetCode链接：剑指Offer 10-I. 斐波那契数列

题目：斐波那契数列

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例1：
输入：n = 2
输出：1
示例2：
输入：n = 5
输出：50
0 <= n <= 100

思路

1.递归法

​ 绝大多数人学习递归法大概都是从斐波那契数列的例子开始的吧。求f(n)就是分别求f(n-1)和f(n-2)，然后递归执行下去。缺点就是有大量的重复计算

2.动态规划

​ 解决重复计算的问题可以建立一个数组，用于保存计算结果，这样需要用到的时候就可以直接取用，不用再进行计算。很多动态规划的题目都是这种建立数组类型的。建立数组需要O(n)的空间。动态规划的几个关键要素：

状态定义：设数组dp[]，其中dp[i]表示斐波那契数列的第i个数字

状态转移方程：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

初始状态:dp[0] = 0, dp[1] = 1

C++代码

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        int dp[101];//题目给出了n的范围
        dp[0] = 0, dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            dp[i] = (dp[i-1] + dp[i-2]) % 1000000007;//不要忘记取余
        }
        return dp[n];
    }
};

Tips : 设正整数x, y, z ，有取余公式：(x + y) % z = (x % z + y % z) % z

复杂度分析

时间复杂度：从dp[0]计算到dp[n]，时间复杂度是O(n)。

空间复杂度：需要一个数组，空间复杂度为O(n)。

3.优化的动态规划算法

从状态转移方程*dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]*可以看到，需要求的一项只和前面两项有关，所以可以只保存前两项，这样就不用建立一个O(n)的数组了。

C++代码

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        int a = 0, b = 1, next;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            next = (a + b) % 1000000007;
            a = b;
            b = next;
        }
        return a;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：计算到f(n)需要循环n次，时间复杂度O(n)。

空间复杂度：仅使用几个变量，空间复杂度为O(1)。