杭电oj HDOJ 2067 小兔的棋盘（卡特兰数）

杭电oj HDOJ 2067 小兔的棋盘

题目来源：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2067

Problem Description

小兔的叔叔从外面旅游回来给她带来了一个礼物，小兔高兴地跑回自己的房间，拆开一看是一个棋盘，小兔有所失望。不过没过几天发现了棋盘的好玩之处。从起点(0，0)走到终点(n,n)的最短路径数是C(2n,n),现在小兔又想如果不穿越对角线(但可接触对角线上的格点)，这样的路径数有多少?小兔想了很长时间都没想出来，现在想请你帮助小兔解决这个问题，对于你来说应该不难吧!

Input

每次输入一个数n(1<=n<=35)，当n等于－1时结束输入。

Output

对于每个输入数据输出路径数，具体格式看Sample。

解题思路

本题可以使用“卡特兰数”的思想来求解。卡特兰数是研究“昆虫从边长为n的正方形左下角A点爬行到右上角B点，每次只能水平向右或垂直向上爬单位1，计算不越过对角线的路径数目”得出的。

“卡特兰数”的求解过程可以使用“动态规划”的思路来思考。
假设Catalan(x, y)表示从原点A出发，到点(x, y)的路径数目，由于只能水平向左和垂直向上移动，则只能从(x-1, y)或(x, y-1)移动到(x, y)，所以“到(x, y)的路径数量”等于“到(x-1, y)的路径数量”加上“到(x, y-1)的路径数量”，这就把问题转换成了“从原点A出发，到点(x-1, y)的路径数量”和“从原点A出发，到点(x, y-1)的路径数量”，具体的递推公式为$$Catalan(x,y)=Catalan(x-1,y)+Catalan(x,y-1)$$
寻找递推的特殊情况：

1. 当点(x, y)处于对角线上时，只能从点(x, y-1)移动到(x, y)
2. 当点(x, y)的y=0时，只能从点(x-1, y)移动到(x, y)

接下来寻找递推的出口，当(x, y)=(1, 0)时，移动路线只有一条，即$Catalan(1,0)=1$。

也可以理解为$Catalan(0,0)=1$，则根据上面的计算法则，同样可以计算出$Catalan(1,0)=1$。

到此“卡特兰数”问题分析完毕。

而本道题的特殊之处在于在“不穿越对角线”的情况下可以水平向左或垂直向上运动，而由于正方形是按其对角线对称的，在对角线两侧的路径数量是相同的，所以本题要求的路线数量是“卡特兰数”问题的路线数量的两倍。

因为是动态规划求解，所以就有一个“超时的递归函数”版本…

__int64 Catalan(int x, int y)
{
	if (!x && !y) {
		return 1;
	}
	else if (x == y) {
		return Catalan(x, y - 1);
	}
	else if (!y) {
		return Catalan(x - 1, y);
	}
	else {
		return Catalan(x, y - 1) + Catalan(x - 1, y);
	}
}

本人的C++解决方案

#include 
using namespace std;

int main()
{
	int n, i, j, count = 1;
	__int64 Catalan[36][36];
	for (i = 0; i < 36; i++) {
		for (j = 0; j <= i; j++) {
			if (!i && !j) {
				Catalan[i][j] = 1;
			}
			// 点(x, y)处于对角线上时
			else if (i == j) {
				Catalan[i][j] = Catalan[i][j - 1];
			}
			// 当点(x, y)的y=0时
			else if (j == 0) {
				Catalan[i][j] = Catalan[i - 1][j];
			}
			else {
				Catalan[i][j] = Catalan[i - 1][j] + Catalan[i][j - 1];
			}
		}
	}
	while (cin >> n) {
		if (n < 0) {
			break;
		}
		cout << count++ << " " << n << " " << 2 * Catalan[n][n] << endl;
	}
	return 0;
}

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