【树形 dp】C000 没有上司的舞会（模板题）

一、题目描述

Ural 大学有N名职员，编号为 1~N。他们的关系就像一棵以校长为根的树，父节点就是子节点的直接上司。

每个职员有一个快乐指数，用整数 $H_i$ 给出，其中 $1\le i\le N$。现在要召开一场周年庆宴会，不过，没有职员愿意和直接上司一起参会。

在满足这个条件的前提下，主办方希望邀请一部分职员参会，使得所有参会职员的快乐指数总和最大，求这个最大值。

输入格式

• 第一行一个整数 $N$。
• 接下来 $N$ 行，第 $i$ 行表示 $i$ 号职员的快乐指数 $H_i$。
• 接下来 $N-1$ 行，每行输入一对整数 $L,K$，表示 $K$ 是 $L$ 的直接上司。

输出格式

• 输出最大的快乐指数。

数据范围

• $1\le N\le 6000,$
  $-128\le Hi\le 127$

输入样例：
7
1
1
1
1
1
1
1
1 3
2 3
6 4
7 4
4 5
3 5
输出样例：
5

二、题解

这是一道由 线性 dp 大盗阿福 的扩展题。

方法一：dp

• 定义状态：
  • $dp[u][0]$ 表示不选 u 这个点的情况下，得到的最大值。
  • $dp[u][1]$ 表中选则 u 这个点的情况下，得到的最大值。
• 思考状态转移方程：
  • $dp[u][0]={\sum }_{}^{}$ $max(dp[s_i][0]，dp[s_i][1])$，$s_i$ 为 u 的子树的最大值，当然 $s_i$ 也有子树，树根的总和为所有子树的最大值。
  • $dp[u][1]={\sum }_{}^{}max(dp[s_i][0])$，当上司 u 参加，u 的下属不能参加咯…
• 思考输出：$max(dp[1][0]，dp[1][1])$

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{
	static class Solution {
		int tot, w[], h[];
		Edge[] e;
		int[][] dp;
		void add(int u, int v) {
			e[++tot] = new Edge();
			e[tot].to = v;
			e[tot].next = h[u];
			h[u] = tot;
		}
		void dfs(int u) {
			dp[u][1] = w[u];
			for (int i = h[u]; i != 0; i = e[i].next) {
				int to = e[i].to;
				dfs(to);
				dp[u][0] += Math.max(dp[to][0], dp[to][1]);
				dp[u][1] += dp[to][0];
			}
		}
		void init() {
			Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
			int n = sc.nextInt();
			w = new int[n+1];
			boolean[] has = new boolean[n+1];
    	    e = new Edge[n+1];
    	    h = new int[n+1];
    	    dp = new int[n+1][2];
    	    
			for (int i = 1; i <= n; i++) w[i] = sc.nextInt();
			for (int i = 0; i < n-1; i++) {
			    int a = sc.nextInt(), b = sc.nextInt();
				add(b, a);
				has[a] = true;
			}
			int r = 1;
			while (has[r]) r++;
			dfs(r);
			System.out.println(Math.max(dp[r][0], dp[r][1]));
		}
		class Edge {
			int to, next; Edge() {}
		}
	}
    public static void main(String[] args) throws IOException {  
        Solution s = new Solution();
		s.init();
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(E)$，
• 空间复杂度：$O(n)$，