最近公共祖先LCA(Tarjan(离线)算法)&& poj1330 && hdu2586

注:这篇文章关于算法解释部分参考☞:http://www.cnblogs.com/JVxie/p/4854719.html

这位大佬写的特别详细,然后我在这个的基础上又增加了两道例题,更方便大家理解

首先是最近公共祖先的概念(什么是最近公共祖先?):

    在一棵没有环的树上,每个节点肯定有其父亲节点和祖先节点,而最近公共祖先,就是两个节点在这棵树上深度最大公共祖先节点

    换句话说,就是两个点在这棵树上距离最近的公共祖先节点

    所以LCA主要是用来处理当两个点仅有唯一一条确定的最短路径时的路径。

    有人可能会问:那他本身或者其父亲节点是否可以作为祖先节点呢?

    答案是肯定的,很简单,按照人的亲戚观念来说,你的父亲也是你的祖先,而LCA还可以将自己视为祖先节点

    举个例子吧,如下图所示最近公共祖先是2最近公共祖先最近公共祖先。 

    这就是最近公共祖先的基本概念了,那么我们该如何去求这个最近公共祖先呢?

    通常初学者都会想到最简单粗暴的一个办法:对于每个询问,遍历所有的点,时间复杂度为O(n*q),很明显,n和q一般不会很小

    常用的求LCA的算法有:Tarjan/DFS+ST/倍增

    后两个算法都是在线算法,也很相似,时间复杂度在O(logn)~O(nlogn)之间,我个人认为较难理解。

    有的题目是可以用线段树来做的,但是其代码量很大,时间复杂度也偏高,在O(n)~O(nlogn)之间,优点在于也是简单粗暴

    这篇博客主要是要介绍一下Tarjan算法(其实是我不会在线...)。

    什么是Tarjan(离线)算法呢?顾名思义,就是在一次遍历中把所有询问一次性解决,所以其时间复杂度是O(n+q)

    Tarjan算法的优点在于相对稳定,时间复杂度也比较居中,也很容易理解。

    下面详细介绍一下Tarjan算法的基本思路:

      1.任选一个点为根节点,从根节点开始。

      2.遍历该点u所有子节点v,并标记这些子节点v已被访问过。

      3.若是v还有子节点,返回2,否则下一步。

      4.合并v到u上。

      5.寻找与当前点u有询问关系的点v。

      6.若是v已经被访问过了,则可以确认u和v的最近公共祖先为v被合并到的父亲节点a。

    遍历的话需要用到dfs来遍历(我相信来看的人都懂吧...),至于合并,最优化的方式就是利用并查集来合并两个节点。

    下面上伪代码:

复制代码

   1 Tarjan(u)//marge和find为并查集合并函数和查找函数
   2 {
   3     for each(u,v)    //访问所有u子节点v
   4     {
   5         Tarjan(v);        //继续往下遍历
   6         marge(u,v);    //合并v到u上
   7         标记v被访问过;
   8     }
   9     for each(u,e)    //访问所有和u有询问关系的e
  10     {
  11         如果e被访问过;
  12         u,e的最近公共祖先为find(e);
  13     }
  14 }

复制代码

    个人感觉这样还是有很多人不太理解,所以我打算模拟一遍给大家看。

    建议拿着纸和笔跟着我的描述一起模拟!!

    假设我们有一组数据 9个节点 8条边 联通情况如下:

    1--2,1--3,2--4,2--5,3--6,5--7,5--8,7--9 即下图所示的树

    设我们要查找最近公共祖先的点为9--8,4--6,7--5,5--3;

    设f[]数组为并查集的父亲节点数组,初始化f[i]=i,vis[]数组为是否访问过的数组,初始为0; 

    下面开始模拟过程:

    取1为根节点往下搜索发现有两个儿子2和3;

    先搜2,发现2有两个儿子4和5,先搜索4,发现4没有子节点,则寻找与其有关系的点;

    发现6与4有关系,但是vis[6]=0,即6还没被搜过,所以不操作

    发现没有和4有询问关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[4]=1

    

    表示4已经被搜完,更新f[4]=2,继续搜5,发现5有两个儿子7和8;

    先搜7,发现7有一个子节点9,搜索9,发现没有子节点,寻找与其有关系的点;

    发现8和9有关系,但是vis[8]=0,即8没被搜到过,所以不操作;

    发现没有和9有询问关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[9]=1

    表示9已经被搜完,更新f[9]=7,发现7没有没被搜过的子节点了,寻找与其有关系的点;

    发现5和7有关系,但是vis[5]=0,所以不操作

    发现没有和7有关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[7]=1

    

    表示7已经被搜完,更新f[7]=5,继续搜8,发现8没有子节点,则寻找与其有关系的点;

    发现9与8有关系,此时vis[9]=1,则他们的最近公共祖先find(9)=5

      (find(9)的顺序为f[9]=7-->f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)

    发现没有与8有关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[8]=1

 

    表示8已经被搜完,更新f[8]=5,发现5没有没搜过的子节点了,寻找与其有关系的点;

    

    发现7和5有关系,此时vis[7]=1,所以他们的最近公共祖先find(7)=5

      (find(7)的顺序为f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)

    又发现5和3有关系,但是vis[3]=0,所以不操作,此时5的子节点全部搜完了;

    返回此前一次搜索,更新vis[5]=1,表示5已经被搜完,更新f[5]=2

    发现2没有未被搜完的子节点,寻找与其有关系的点;

    又发现没有和2有关系的点,则此前一次搜索,更新vis[2]=1

    

    表示2已经被搜完,更新f[2]=1,继续搜3,发现3有一个子节点6;

    搜索6,发现6没有子节点,则寻找与6有关系的点,发现4和6有关系;

    此时vis[4]=1,所以它们的最近公共祖先find(4)=1;

      (find(4)的顺序为f[4]=2-->f[2]=2-->f[1]=1 return 1;)

    发现没有与6有关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[6]=1,表示6已经被搜完了;

    

    更新f[6]=3,发现3没有没被搜过的子节点了,则寻找与3有关系的点;

    发现5和3有关系,此时vis[5]=1,则它们的最近公共祖先find(5)=1

      (find(5)的顺序为f[5]=2-->f[2]=1-->f[1]=1 return 1;)

    发现没有和3有关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[3]=1

    

    更新f[3]=1,发现1没有被搜过的子节点也没有有关系的点,此时可以退出整个dfs了。

    经过这次dfs我们得出了所有的答案,有没有觉得很神奇呢?是否对Tarjan算法有更深层次的理解了呢?

    

 

好了我们下面来增加两道例题

1.poj1330:传送门:http://poj.org/problem?id=1330

 这道题的题意就是直接问你两个点的最近公共祖先,直接上代码吧:

#include
#include
#include
using namespace std;

const int maxn = 10010;
vector son[maxn];

int fa[maxn];
int fas[maxn];
int root; 	//保存树的根节点 
bool vis[maxn];
int n;
int u,v;

int find(int x){
	return fa[x]==x ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}

void init(){
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(int i=1;i<=n;i++)	fa[i] = i;
	for(int i=0;i<=n;i++) 	son[i].clear();
} 

void tarjan_lca(int root){
	vis[root] = 1;
	for(int i=0;i> T;
	while(T--){
		cin >>n;
		init();
		for(int i=0;i> a >> b;
			son[a].push_back(b);
			vis[b] = 1;
		} 
		cin >> u >> v;
		for(int i =1;i<=n;i++){
			if(!vis[i]){
				root = i;
				break;
			}
		}
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		tarjan_lca(root);
	}
	return 0;
}

2.hdu2586:传送门:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2586

 题意:给一个无根树,有q个询问,每个询问两个点,问两点的距离。求出  lca = LCA(X,Y) , 然后  dir[x] + dir[y] - 2 * dir[lca]

dir[u]表示点u到树根的距离,代码如下:

#include
#include
#include
using namespace std;

const int MAX = 40020;

struct edge{
	int v,w;
}; 
vector mp[MAX];
vector query[MAX];
int vis[MAX];
int pre[MAX],father[MAX],path[MAX];

int find(int x){
	return x==pre[x] ? x : pre[x] = find(pre[x]); 
}

void LCA(int k){
	for(int i=0;i> T;
	while(T--){
		int n,m;
		cin >> n >> m;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			mp[i].clear();
			query[i].clear();
			vis[i]=0;
			father[i]=-1;
			pre[i]=i;
			path[i]=0;
		}
		int a,b,c;
		edge X;
		for(int i=1;i> a >> b >> c;
			X.v=b;X.w=c;
			mp[a].push_back(X);
			X.v=a;
			mp[b].push_back(X);
		}
		for(int i=1;i<=m;i++){
			cin >>a >> b;
			X.v=b;X.w=i;
			query[a].push_back(X);
			X.v=a;
			query[b].push_back(X); 
		}
		vis[1] = 1;
		LCA(1);
		for(int i=1;i<=m;i++){
			cout << father[i]<<'\n';
		}
	}
	return 0;
} 

 

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