注:这篇文章关于算法解释部分参考☞:http://www.cnblogs.com/JVxie/p/4854719.html
这位大佬写的特别详细,然后我在这个的基础上又增加了两道例题,更方便大家理解
首先是最近公共祖先的概念(什么是最近公共祖先?):
在一棵没有环的树上,每个节点肯定有其父亲节点和祖先节点,而最近公共祖先,就是两个节点在这棵树上深度最大的公共的祖先节点。
换句话说,就是两个点在这棵树上距离最近的公共祖先节点。
所以LCA主要是用来处理当两个点仅有唯一一条确定的最短路径时的路径。
有人可能会问:那他本身或者其父亲节点是否可以作为祖先节点呢?
答案是肯定的,很简单,按照人的亲戚观念来说,你的父亲也是你的祖先,而LCA还可以将自己视为祖先节点。
举个例子吧,如下图所示4和5的最近公共祖先是2,5和3的最近公共祖先是1,2和1的最近公共祖先是1。
这就是最近公共祖先的基本概念了,那么我们该如何去求这个最近公共祖先呢?
通常初学者都会想到最简单粗暴的一个办法:对于每个询问,遍历所有的点,时间复杂度为O(n*q),很明显,n和q一般不会很小。
常用的求LCA的算法有:Tarjan/DFS+ST/倍增
后两个算法都是在线算法,也很相似,时间复杂度在O(logn)~O(nlogn)之间,我个人认为较难理解。
有的题目是可以用线段树来做的,但是其代码量很大,时间复杂度也偏高,在O(n)~O(nlogn)之间,优点在于也是简单粗暴。
这篇博客主要是要介绍一下Tarjan算法(其实是我不会在线...)。
什么是Tarjan(离线)算法呢?顾名思义,就是在一次遍历中把所有询问一次性解决,所以其时间复杂度是O(n+q)。
Tarjan算法的优点在于相对稳定,时间复杂度也比较居中,也很容易理解。
下面详细介绍一下Tarjan算法的基本思路:
1.任选一个点为根节点,从根节点开始。
2.遍历该点u所有子节点v,并标记这些子节点v已被访问过。
3.若是v还有子节点,返回2,否则下一步。
4.合并v到u上。
5.寻找与当前点u有询问关系的点v。
6.若是v已经被访问过了,则可以确认u和v的最近公共祖先为v被合并到的父亲节点a。
遍历的话需要用到dfs来遍历(我相信来看的人都懂吧...),至于合并,最优化的方式就是利用并查集来合并两个节点。
下面上伪代码:
1 Tarjan(u)//marge和find为并查集合并函数和查找函数
2 {
3 for each(u,v) //访问所有u子节点v
4 {
5 Tarjan(v); //继续往下遍历
6 marge(u,v); //合并v到u上
7 标记v被访问过;
8 }
9 for each(u,e) //访问所有和u有询问关系的e
10 {
11 如果e被访问过;
12 u,e的最近公共祖先为find(e);
13 }
14 }
个人感觉这样还是有很多人不太理解,所以我打算模拟一遍给大家看。
建议拿着纸和笔跟着我的描述一起模拟!!
假设我们有一组数据 9个节点 8条边 联通情况如下:
1--2,1--3,2--4,2--5,3--6,5--7,5--8,7--9 即下图所示的树
设我们要查找最近公共祖先的点为9--8,4--6,7--5,5--3;
设f[]数组为并查集的父亲节点数组,初始化f[i]=i,vis[]数组为是否访问过的数组,初始为0;
下面开始模拟过程:
取1为根节点,往下搜索发现有两个儿子2和3;
先搜2,发现2有两个儿子4和5,先搜索4,发现4没有子节点,则寻找与其有关系的点;
发现6与4有关系,但是vis[6]=0,即6还没被搜过,所以不操作;
发现没有和4有询问关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[4]=1;
表示4已经被搜完,更新f[4]=2,继续搜5,发现5有两个儿子7和8;
先搜7,发现7有一个子节点9,搜索9,发现没有子节点,寻找与其有关系的点;
发现8和9有关系,但是vis[8]=0,即8没被搜到过,所以不操作;
发现没有和9有询问关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[9]=1;
表示9已经被搜完,更新f[9]=7,发现7没有没被搜过的子节点了,寻找与其有关系的点;
发现5和7有关系,但是vis[5]=0,所以不操作;
发现没有和7有关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[7]=1;
表示7已经被搜完,更新f[7]=5,继续搜8,发现8没有子节点,则寻找与其有关系的点;
发现9与8有关系,此时vis[9]=1,则他们的最近公共祖先为find(9)=5;
(find(9)的顺序为f[9]=7-->f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)
发现没有与8有关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[8]=1;
表示8已经被搜完,更新f[8]=5,发现5没有没搜过的子节点了,寻找与其有关系的点;
发现7和5有关系,此时vis[7]=1,所以他们的最近公共祖先为find(7)=5;
(find(7)的顺序为f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)
又发现5和3有关系,但是vis[3]=0,所以不操作,此时5的子节点全部搜完了;
返回此前一次搜索,更新vis[5]=1,表示5已经被搜完,更新f[5]=2;
发现2没有未被搜完的子节点,寻找与其有关系的点;
又发现没有和2有关系的点,则此前一次搜索,更新vis[2]=1;
表示2已经被搜完,更新f[2]=1,继续搜3,发现3有一个子节点6;
搜索6,发现6没有子节点,则寻找与6有关系的点,发现4和6有关系;
此时vis[4]=1,所以它们的最近公共祖先为find(4)=1;
(find(4)的顺序为f[4]=2-->f[2]=2-->f[1]=1 return 1;)
发现没有与6有关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[6]=1,表示6已经被搜完了;
更新f[6]=3,发现3没有没被搜过的子节点了,则寻找与3有关系的点;
发现5和3有关系,此时vis[5]=1,则它们的最近公共祖先为find(5)=1;
(find(5)的顺序为f[5]=2-->f[2]=1-->f[1]=1 return 1;)
发现没有和3有关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[3]=1;
更新f[3]=1,发现1没有被搜过的子节点也没有有关系的点,此时可以退出整个dfs了。
经过这次dfs我们得出了所有的答案,有没有觉得很神奇呢?是否对Tarjan算法有更深层次的理解了呢?
好了我们下面来增加两道例题
1.poj1330:传送门:http://poj.org/problem?id=1330
这道题的题意就是直接问你两个点的最近公共祖先,直接上代码吧:
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 10010;
vector son[maxn];
int fa[maxn];
int fas[maxn];
int root; //保存树的根节点
bool vis[maxn];
int n;
int u,v;
int find(int x){
return fa[x]==x ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}
void init(){
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i] = i;
for(int i=0;i<=n;i++) son[i].clear();
}
void tarjan_lca(int root){
vis[root] = 1;
for(int i=0;i> T;
while(T--){
cin >>n;
init();
for(int i=0;i> a >> b;
son[a].push_back(b);
vis[b] = 1;
}
cin >> u >> v;
for(int i =1;i<=n;i++){
if(!vis[i]){
root = i;
break;
}
}
memset(vis,0,sizeof(vis));
tarjan_lca(root);
}
return 0;
}
2.hdu2586:传送门:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2586
题意:给一个无根树,有q个询问,每个询问两个点,问两点的距离。求出 lca = LCA(X,Y) , 然后 dir[x] + dir[y] - 2 * dir[lca]
dir[u]表示点u到树根的距离,代码如下:
#include
#include
#include
using namespace std;
const int MAX = 40020;
struct edge{
int v,w;
};
vector mp[MAX];
vector query[MAX];
int vis[MAX];
int pre[MAX],father[MAX],path[MAX];
int find(int x){
return x==pre[x] ? x : pre[x] = find(pre[x]);
}
void LCA(int k){
for(int i=0;i> T;
while(T--){
int n,m;
cin >> n >> m;
for(int i=1;i<=n;i++){
mp[i].clear();
query[i].clear();
vis[i]=0;
father[i]=-1;
pre[i]=i;
path[i]=0;
}
int a,b,c;
edge X;
for(int i=1;i> a >> b >> c;
X.v=b;X.w=c;
mp[a].push_back(X);
X.v=a;
mp[b].push_back(X);
}
for(int i=1;i<=m;i++){
cin >>a >> b;
X.v=b;X.w=i;
query[a].push_back(X);
X.v=a;
query[b].push_back(X);
}
vis[1] = 1;
LCA(1);
for(int i=1;i<=m;i++){
cout << father[i]<<'\n';
}
}
return 0;
}