从点云到网格（三）Poisson重建

Possion重建是Kazhdan等2006年提出的网格重建方法[1]。Possion重建的输入是点云及其法向量，输出是三维网格。Poisson有公开的源代码[2]。PCL中也有Poisson的实现。

核心思想

Possion重建是一个非常直观的方法。它的核心思想是点云代表了物体表面的位置，其法向量代表了内外的方向。通过隐式地拟合一个由物体派生的指示函数，可以给出一个平滑的物体表面的估计。

给定一个区域MM及其边界∂M∂M，指示函数χMχM定义为

这样，把重构S=∂MS=∂M的问题转换为重构χMχM的问题。作者给出了将点云及其法向量和χMχM联系起来的公式。作者论文中的图1非常形象地描述了这二者的联系。

基本思路

对于任意点p∈∂Mp∈∂M，定义N⃗ ∂M(p)N→∂M(p)为向内的表面法向量，F~(q)F~(q)为一个平滑滤波器，F~p(q)=F~(q−p)F~p(q)=F~(q−p)为F~F~沿pp方向的平移。因为χMχM一般意义上是不好求导的，这里用χM∗F~χM∗F~的导数来近似。

从法向量到梯度空间

梯度空间的近似

由于N⃗ ∂MN→∂M的分布是未知的，需要通过观测值P={(pi,ni)}P={(pi,ni)}来近似。考虑离散点集ΩΩ，∂M∂M被分割为互不相交的区域℘s,s∈Ω℘s,s∈Ω。(1)(1)可以转化为积分求和，并将每个小积分近似为常函数，用代表点s.ps.p对应的函数值和℘s℘s的面积的乘积代替。

这里希望平滑滤波器F~F~能够尽量地窄，不过分平滑数据，同时尽量地宽，使得积分近似能够更准确。高斯滤波器是一种常见的选择。

求解Possion问题

向量空间V⃗ V→和指示函数χ~χ~满足

 

∇χ~=V⃗ (3)(3)∇χ~=V→

然而，V⃗ V→通常意义上是没法积分的（为什么？）。为了得到(3)(3)式的最小二乘解，将(3)(3)式两边求导，就得到了拉普拉斯方程

Δχ~=∇⋅V⃗ (4)(4)Δχ~=∇⋅V→

拉普拉斯方程在数学上有很详细的研究。

实现细节

空间划分

为了解一个偏微分方程问题，首先要将其离散化。最简单的方法是将空间划分为均匀网格。这种划分非常占内存空间，而且只有边界附近的值才是我们关心的，大量的空间被浪费了。作者采用了一种自适应的网格结构octree来划分空间，并且octree上定义了一个函数空间FoFo。下图给出了octree在三维空间对一个物体的划分。物体边缘的网格密度远大于远离物体的网格密度。

http://http.developer.nvidia.com/GPUGems2/elementLinks/37_octree_03.jpg

空间上的基函数选择

如何选择函数空间FoFo实际上挺有学问的。因为FoFo一旦给定，定义在这个octree上的向量空间V⃗ V→和指示函数χχ都会通过FoFo的线性组合去近似。这样，求解χχ就转化为求解FoFo上的参数组合，进而转化为求解一个线性方程组。

给定octree的深度DD，作者根据选择了下面的基函数FF。

∗n∗n代表nn次卷积。当nn趋向于无穷时，FF趋向于高斯函数，它的定义域也越来越大。当n=3n=3时，定义域为[−1.5,1.5]3[−1.5,1.5]3。

octree上某个节点oo对应的函数FoFo定义为

 

Fo(q)≡F(q−o.co.w)1(o.w)3Fo(q)≡F(q−o.co.w)1(o.w)3

其中o.co.c是的oo中心，o.wo.w是oo的宽度。假设根节点（第0层）的宽度为WW，那么第dd层节点的宽度为W2dW2d。这个函数空间和小波空间很像。

Possion求解

Possion求解方法是L2投影（L2 projection）[3]。定义octree的节点集合为OO。向量空间V⃗ V→可以近似为

 

V⃗ (q)≡Σs∈ΩΣo∈Ng(s)αo,sFo(q)s.n⃗ V→(q)≡Σs∈ΩΣo∈Ng(s)αo,sFo(q)s.n→

其中Ng(s)Ng(s)是ss的八个最近邻的叶节点，αo,sαo,s是三线性插值的权重。

虽然V⃗ V→和χ~χ~都可以在函数空间上表示出来，Δχ~Δχ~和∇⋅V⃗ ∇⋅V→却未必有定义。因此将(4)(4)近似为最小化其在FoFo上的投影

 

Σo∥〈Δχ~−∇⋅V⃗ ,Fo〉∥2=Σo∥〈Δχ~,Fo〉−〈∇⋅V⃗ ,Fo〉∥2Σo‖〈Δχ~−∇⋅V→,Fo〉‖2=Σo‖〈Δχ~,Fo〉−〈∇⋅V→,Fo〉‖2

令χ~=ΣoxoFoχ~=ΣoxoFo，那么求解χ~χ~即是求解xoxo。

〈Δχ~,Fo′〉=Σoxo〈ΔFo,Fo′〉〈Δχ~,Fo′〉=Σoxo〈ΔFo,Fo′〉

 

Σo∥〈Δχ~,Fo〉−〈∇⋅V⃗ ,Fo〉∥2=Σo′∥Σoxo〈ΔFo,Fo′〉−〈∇⋅V⃗ ,Fo′〉∥2Σo‖〈Δχ~,Fo〉−〈∇⋅V→,Fo〉‖2=Σo′‖Σoxo〈ΔFo,Fo′〉−〈∇⋅V→,Fo′〉‖2

上式右边对x={xo}x={xo}求偏导，转化为

minx∥Lx−v∥2minx‖Lx−v‖2

其中，设octree的节点数为NN，N×NN×N矩阵LL在(o,o′)(o,o′)位置上的值为

Lo,o′≡〈∂2Fo∂x2,Fo′〉+〈∂2Fo∂y2,Fo′〉+〈∂2Fo∂z2,Fo′〉Lo,o′≡〈∂2Fo∂x2,Fo′〉+〈∂2Fo∂y2,Fo′〉+〈∂2Fo∂z2,Fo′〉

表面提取

用Marching Cubes类似的方法。注意iso的值取自SS个划分的平均。

作者还讨论了非均匀采样下的算法，在此就不赘述。

Poisson分析

简单列几点

• Poisson在边缘处的锐度比VRIP要好。这是因为VRIP在大的边缘处TSDF的累加会有平滑效应，而Poisson依据的是法向量，不会引入额外的平滑。
• VRIP是局部方法，每次只更新当前深度图对应的TSDF。Poisson是全局方法。
• 从个人使用经验上看，Poisson对于噪声更加鲁棒一些。点云法向量估计的精度不能太差。
• 如果重建出奇怪的形状（分层、分块），请查看原始点云是否平滑，是否有噪声，调整生成网格的分辨率以适应点云。

小结

Poisson是个好方法。

参考文献

[1]. Kazhdan, Michael, Matthew Bolitho, and Hugues Hoppe. "Poisson surface reconstruction." Proceedings of the fourth Eurographics symposium on Geometry processing. Vol. 7. 2006.
[2]. http://www.cs.jhu.edu/~misha/Code/PoissonRecon/Version8.0/
[3]. http://www.featflow.de/en/software/featflow2/tutorial/tutorial_l2proj.html

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