LIS-最长递增子序列

在计算机科学中，最长递增子序列（longest increasing subsequence）问题是指，在一个给定的数值序列中，找到一个子序列，使得这个子序列元素的数值依次递增，并且这个子序列的长度尽可能地大。最长递增子序列中的元素在原序列中不一定是连续的
– 维基百科

如1 3 4 2 5 则最长递增子序列为1 3 4或 1 3 5 或 1 4 5，长度都为3。

DP解法 - O(n*n)

设dp[i]为arr[i]为结尾的LIS长度，则显然

dp[i] = max{dp[j]} + 1 , j < i && arr[j] < arr[i]

注意下初始情况下dp[i]为1，然后代码就easy了

const int maxn = 1000;
const int inf = 0x7f;

int lis_dp(int *arr, int n) {
    int dp[maxn];
    int ans = 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        dp[i] = 1;
        for (int j = 0; j < i; ++j) {
            if (arr[i] > arr[j] && dp[i] < dp[j] + 1) {
                dp[i] = dp[j] + 1;
            }
        }
        if (dp[i] > ans)
            ans = dp[i];
    }
    return ans;
}

O(n*log(n))解法

我们发现上面的第二层循环只是找个max(dp[j])，那么就可以用二分优化，但不是直接的把第二个循环换成二分查找，直接看代码。
定义数组

f[i]:以arr[i]结尾的lis长度
g[i]:长度为i的lis的最后个数字，长度相同时取最小的结尾数字

其中的g[i]在相同长度时，比如1 3 4 2 5 的LIS为 1 3 4或 1 3 5 或 1 4 5，则g[3]为4，因为显然长度相等情况下最后个数字更小更好。

int lis(int *arr, int n) {
    int f[maxn],g[maxn];
    int ans = 1;

    memset(g, inf, sizeof(g));
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        f[i] = lower_bound(g + 1, g + 1 + n, arr[i]) - g;
        g[f[i]] = arr[i];
        ans = max(f[i], ans);
    }
    return ans;
}

关键在于 lower_bound 的参数+1和返回值，我们遍历每个数字的时候在g[]里取>=arr[i]的第一个位置，这个位置(从1开始计数的话)就是以arr[i]结尾的LIS的长度(即f[i])，且当前这个数字也是这个长度下的g值(即g[f[i]])。
上个例子看看

n = 5
arr[]:  10 30 15 20 60
f[]:    1   2  2  3  4
g[f[]]: 10 30 15 20 60

带着f和g的定义去想代码流程就容易想通的，这里不具体分析了，下面给一些关键点

• lower_bound 参数是g+1而非g是因为看g[]的定义我们可知g[]下标从1开始，毕竟没有长度为0的LIS，那之后在减g而非g+1是为了让等号右边返回1开始的结果，如果减g+1则返回数组下标没错，但我们要的是长度，刚好下标+1又会等于长度。

• lower_bound 需要排序才能用，但按照g数组的定义来看g数组肯定是递增排好序的，因为g[i]就表示长度为i的lis的最后个数字，那么g[i]肯定小于g[i+1]，不然g[i+1]哪来的，还不是g[i]对应的序列再加一个arr[i+1]来的。

转为LCS - O(n*n)

我们可以将原数组复制一份，然后对新数组排序，之后求原数组和新数组的LCS（最长公共子序列）即是答案，复杂度O(n*n)，也需要开个n*n的空间，比较伤。

int lis_lcs(int *arr, int n) {
    int cp[maxn];
    memcpy(cp, arr, sizeof(int)*n);
    sort(cp, cp + n);

    int dp[maxn][maxn];
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            if (arr[i - 1] == cp[j - 1]) { //注意下标对应关系
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) ;
            }
        }
    }
    return dp[n][n];
}

题目

POJ 2533 裸LIS 两种解法都能过

HDU 5748 Bellovin - BC 84期B题
给一个序列A，要求找出另外个序列B，符合每个以B[i]结尾的LIS都和A[i]的一样且序列B是所有解中字典序最小的。
你会发现 序列A的LIS数组本身就是答案，它的长度代表了字典序最小。