[HNOI2008]玩具装箱toy

dp[i]=min(dp[j]+(sum[i]-sum[j]-c)^2)

dp[k]+(sum[i]-sum[k]-c)^2 < dp[j]+(sum[i]-sum[j]-c)^2

dp[k]+(Si-sum[k])^2  <  dp[j]+(Si-sum[j])^2

dp[k]+Si^2-2*Si*sum[k]+sum[k]^2  < dp[j]+Si^2-2*Si*sum[j]+sum[j]^2

(dp[k]+sum[k]^2)  - (dp[j]+sum[j]^2) <  2*Si*(sum[k]-sum[j])

Yk-Yj<2*Si*(Xk-Xj)

则j

( Yk-Yj )/( Xk-Xj ) < 2*Si

令 K(j,k)=( Yk-Yj )/( Xk-Xj ) 

因为Si单调递增，所以若对于iK(j,k)则在2*Si>K(i,j)时一定有2*Si>K(j,k),

即当决策j比决策i更优时，决策k一定比决策j更优，

即j是一个不可能更新后来者的点

从图像上分析就是两点间的凸点是不可能更新后来者的，可以被无视

所以我们要维护一个凹包，就是维护K单调递增的单调队列，同时用一个指针来记录在当前i下最优是哪一个不断把点加入，把指针往后移动，就可以了。

代码:

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define maxn 50050
using namespace std;
long long s[maxn],f[maxn],d[maxn];
long long n,l,t,w;
inline void read(long long  &x){
    char ch;
    bool flag=false;
    for (ch=getchar();!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') flag=true;
    for (x=0;isdigit(ch);x=x*10+ch-'0',ch=getchar());
    x=flag?-x:x;
}
inline void init(){
    read(n);read(l);
    for (int i=1;i<=n;i++)
      read(s[i]),s[i]+=s[i-1]+1;
}
inline long long pow(long long a) {   return a*a;   }
inline long long g(long a,long b){   return f[b]-f[a]+pow(s[b])-pow(s[a]); }
inline bool checkhead(long long a,long long b,long long c){  return g(a,b)<=(s[c]-l-1)*2*(s[b]-s[a]);  }
inline bool checktail(long long a,long long b,long long c){  return g(a,b)*(s[c]-s[b])>=g(b,c)*(s[b]-s[a]); }
inline void dp(){
    t=0;w=0; d[w++]=0; f[0]=0;
    for (long long i=1;i<=n;i++)
      {
        while ((w-t>=2)and(checkhead(d[t],d[t+1],i))) t++;
        f[i]=f[d[t]]+pow((s[i]-s[d[t]])-1-l);
        while ((w-t>=2)and(checktail(d[w-2],d[w-1],i))) w--;
        d[w++]=i;
      }
    printf("%lld",f[n]);
}
int main(){
  init();
  dp();
  return 0;
}