PCA在图像处理上的应用

PCA(Principal Component Analysis), 也就是主成分分析, 是数据分析的常用方法, 其原理是:　反映对象特征的多个属性往往存在线形相关，　所以可以找到一个合理的方法，　对此多个属性变换为线性无关的另一组属性，　变换后的属性个数小于最初的属性的个数，　也就是起到了数据降维的作用，　这样可以减少数据分析的复杂度. 自然, PCA在机器学习，计算机视觉和图像处理上，　也有重要作用. 如本文末参考文献中使用PCA来估计图像局部方向.
设 f(x,y) 为一感兴趣图像区域，　则可求得其梯度 gi 为:

gi=∇f(x,y),i=1,2,...,n

若 a 为此区域方向，　则其必正交于图像梯度，　于是，　估计区域方向就可以用最小化下式来推算:

∑i=1n(aTgi)2=aT∑i=1n(gigTi)a=aTCa

其中，　

C=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢∑i=1ngxgx,∑i=1ngxgy∑i=1ngxgy,∑i=1ngygy⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

可用Langrange Multiplier 来求解，　 a 就是 C 的对应于最小特征值的特征向量.
此方法在RAISR中得到了应用. 下图就是RAISR跟双线形上采样的比较.

此程序刚完成，　未作仔细检验，　并没有自信其逻辑一定正确. 还有训练样本集是网上找的一个很小的图像数据库，　一共20０张图片，所以次训练远远称不上充分。　所以理论上应该能取得更好的效果.

Reference

• Multiscale Principle Component Analysis for Image Local Orientation Estimation.