差分+树上差分（详细说明+模板）

问题引入

差分的题目，常见的操作为：有一连续区间[1,n]，包含n个点，对任意的 1 <= u ,v<= n ，使得区间[u,v]中结点的值增加x，然后询问某点的权值。

树上差分的题目，常见的操作为：将一棵树上从u到v路径上的点或者边的权值加上x，询问某结点的权值

什么是差分

假设我们有一条链，链上的结点记为 1~n ，一共n个连续的结点，现在我们将这条链上任意区间中的结点增加一个值x，看到这里，大家想到的第一反应应该就是：这不是线段树吗？

确实，当我只有一条链的时候，用线段树可以实现 O(nlogn)的复杂度操作，但是如果有m条链，并且 0 < n ,m < 1e4，按照一般的思路，我们构建m棵线段树代表m条链，时间复杂度为 O(nmlogn)，嗯，运算大约1e9次，差不多1s了。

而差分可以解决这个问题，一条链的时候，用差分可以实现复杂度为 O(n + 常数)，不仅时间上比线段树更快，而空间和代码量都要小的多，当然，这并不是说差分可以替代线段树，在这里，我们考虑的是一种特殊情况，此时差分是比线段树更好的方法。

那么差分是如何实现O(n+常数)的复杂度的呢？我们将 val[] 定义为差分数组,值初始化为0，某次操作：令区间 [l,r] 的值增加x，此时我们用O(1)的时间执行: val[l] += x, val[r+1] -= x ， 一共k次操作，此时用时 O(2k) ，随后我们求差分数组val的前缀和sum，显然，只需要O(n)的时间即可，一共用时O(n+2k），然后m条链的时候就是O(mn + 常数)，大约1e8，比线段树快了一个 O(logn) 级别

什么是树上差分

简单差分是一条连续的链上进行的一段区间整体增加一个值，树上差分是将一棵树上从u到v路径上的点或者边的权值加上x。

众所周知，树中任意两点的路径是唯一的，而我们也知道任意两点u,v之间的路径，必然经过 lca(u,v)，路径描述为 u -> lca(u,v) ->v，此时我们也有一个差分数组 val[] ，值初始化为0，此时执行操作: val[u] += x , val[v] += x , val[lca[u,v)] -= x , val[ father[lca[u,v)]] -= x，执行完所有这样的操作之后，我们用 sum[] 记录每个结点的权值，sum[i] 的值为 i 和 i 的子树的val[] 之后，至于为什么，建议手动模拟一下

树上差分（增加路径中点的权值）

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P3128

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树上差分（增加路径中边的权值）

题目链接：暂时没有找到模板题....