差分的题目,常见的操作为:有一连续区间[1,n],包含n个点,对任意的 1 <= u ,v<= n ,使得区间[u,v]中结点的值增加x,然后询问某点的权值。
树上差分的题目,常见的操作为:将一棵树上从u到v路径上的点或者边的权值加上x,询问某结点的权值
假设我们有一条链,链上的结点记为 1~n ,一共n个连续的结点,现在我们将这条链上任意区间中的结点增加一个值x,看到这里,大家想到的第一反应应该就是:这不是线段树吗?
确实,当我只有一条链的时候,用线段树可以实现 O(nlogn)的复杂度操作,但是如果有m条链,并且 0 < n ,m < 1e4,按照一般的思路,我们构建m棵线段树代表m条链,时间复杂度为 O(nmlogn),嗯,运算大约1e9次,差不多1s了。
而差分可以解决这个问题,一条链的时候,用差分可以实现复杂度为 O(n + 常数),不仅时间上比线段树更快,而空间和代码量都要小的多,当然,这并不是说差分可以替代线段树,在这里,我们考虑的是一种特殊情况,此时差分是比线段树更好的方法。
那么差分是如何实现O(n+常数)的复杂度的呢?我们将 val[] 定义为差分数组,值初始化为0,某次操作:令区间 [l,r] 的值增加x,此时我们用O(1)的时间执行: val[l] += x, val[r+1] -= x , 一共k次操作,此时用时 O(2k) ,随后我们求差分数组val的前缀和sum,显然,只需要O(n)的时间即可,一共用时O(n+2k),然后m条链的时候就是O(mn + 常数),大约1e8,比线段树快了一个 O(logn) 级别
简单差分是一条连续的链上进行的一段区间整体增加一个值,树上差分是将一棵树上从u到v路径上的点或者边的权值加上x。
众所周知,树中任意两点的路径是唯一的,而我们也知道任意两点u,v之间的路径,必然经过 lca(u,v),路径描述为 u -> lca(u,v) ->v,此时我们也有一个差分数组 val[] ,值初始化为0,此时执行操作: val[u] += x , val[v] += x , val[lca[u,v)] -= x , val[ father[lca[u,v)]] -= x,执行完所有这样的操作之后,我们用 sum[] 记录每个结点的权值,sum[i] 的值为 i 和 i 的子树的val[] 之后,至于为什么,建议手动模拟一下
题目链接:https://www.luogu.org/problem/P3128
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