分块

• 参考资料：
  「分块」数列分块入门1 – 9 by hzwer
  分块入门1~9
• 什么是分块？
• 分块就是将一段序列，分成若干个块，再进行暴力。

数列分块入门 1

• 给定一个长度为$n$的序列，有$n$个操作，区间加法和单点询问

• 将序列分成$sqrt(n)$个块

• 对于一段区间修改，分两种情况讨论：

• 如果修改区间在一个块中，则暴力修改$a[i]$的值

• 如果修改区间不在一个块中：
  对于最左边和最右边的块，暴力修改
  中间的整块维护一个块的$lazy$值

• 时间复杂度$O((n/m)+m)$，根据均值不等式，$m=sqrt(n)$时最优

#include 
using namespace std;
#define maxn 50010

int n,a[maxn],L[maxn],R[maxn],t,pos[maxn],la[maxn];

inline int read_() {
	int x_=0,f_=1;char c_=getchar();
	while(c_<'0'||c_>'9') {if(c_=='-') f_=-1;c_=getchar();}
	while(c_>='0'&&c_<='9') {x_=(x_<<1)+(x_<<3)+c_-'0';c_=getchar();}
	return x_*f_;
}

inline void update_(int l,int r,int w) {
	int LL=pos[l],RR=pos[r];
	if(LL==RR) for(int i=l;i<=r;++i) a[i]+=w;
	else {
		for(int i=l;i<=R[LL];++i) a[i]+=w;
		for(int i=L[RR];i<=r;++i) a[i]+=w;
		for(int i=LL+1;i<=RR-1;++i) la[i]+=w;
	}
}

void readda_() {
	n=read_();
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read_();
	t=sqrt(n);//块的大小亦块数,t*t=n 
	for(int i=1;i<=t;++i) {
		L[i]=(i-1)*t+1;
		R[i]=i*t;
	}
	if(R[t]<n) {++t;L[t]=R[t-1]+1;R[t]=n;} 
	for(int i=1;i<=t;++i) {
		for(int j=L[i];j<=R[i];++j) {
			pos[j]=i;//每个点属于哪个块 
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i) {
		int pd=read_(),l=read_(),r=read_(),c=read_();
		if(!pd) update_(l,r,c);
		else printf("%d\n",a[r]+la[pos[r]]);
	}
}

int main() {
	freopen("a.txt","r",stdin);
	readda_();
	return 0;
}

数列分块入门 2

• 给出一个长为$n$的数列，以及$n$个操作，操作涉及区间加法，询问区间内小于某个值$x$的元素个数。

• 要快速查询一个区间小于$x$的数有多少，在区间有序的情况下我们可以使用二分$lower$_$bound$

• 维护出块之后，给每个块内排序，使块内元素有序

• 考虑修改：
  如果一整个块都加上一个数，不影响块内元素的相对大小
  如果修改一个块内的部分的数，则有可能会影响相对大小，在修改完之后，重新排序

• 考虑询问：
  如果询问一整个块的话使用二分
  否则暴力询问

#include 
using namespace std;
#define maxn 50010
#define maxt 225

int n,a[maxn],L[maxt],R[maxt],pos[maxn],t,la[maxt];
vector <int >e[maxt];

inline int read_() {
	int x_=0,f_=1;char c_=getchar();
	while(c_<'0'||c_>'9') {if(c_=='-') f_=-1;c_=getchar();}
	while(c_>='0'&&c_<='9') {x_=(x_<<1)+(x_<<3)+c_-'0';c_=getchar();}
	return x_*f_;
}

inline void resert_(int x) {
	e[x].clear();
	for(int i=L[x];i<=R[x];++i) e[x].push_back(a[i]);
	sort(e[x].begin(),e[x].end());
}

inline void update_(int l,int r,int w) {
	int LL=pos[l],RR=pos[r];
	if(LL==RR) {
		for(int i=l;i<=r;++i) a[i]+=w;
		resert_(LL); 
	}
	else {
		for(int i=l;i<=R[LL];++i) a[i]+=w;
		resert_(LL);
		for(int i=L[RR];i<=r;++i) a[i]+=w;
		resert_(RR);
		for(int i=LL+1;i<=RR-1;++i) la[i]+=w;
	}
}

inline int query_(int l,int r,int w) {
	int LL=pos[l],RR=pos[r];
	int ans=0;
	if(LL==RR) {
		for(int i=l;i<=r;++i) {
			if(a[i]+la[pos[i]]<w) ++ans;
		}
	}
	else {
		for(int i=l;i<=R[LL];++i) {
			if(a[i]+la[pos[i]]<w) ++ans;
		} 
		for(int i=L[RR];i<=r;++i) {
			if(a[i]+la[pos[i]]<w) ++ans;
		}
		for(int i=LL+1;i<=RR-1;++i) {
			ans+=lower_bound(e[i].begin(),e[i].end(),w-la[i])-e[i].begin();
		}
	}
	return ans;
}

void readda_() {
	n=read_();
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read_();
	t=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=t;++i) {
		L[i]=(i-1)*t+1;
		R[i]=i*t;
	}
	if(R[t]<n) {++t;L[t]=R[t-1]+1;R[t]=n;}
	for(int i=1;i<=t;++i) {
		for(int j=L[i];j<=R[i];++j) {
			pos[j]=i;
			e[i].push_back(a[j]);
		}
		sort(e[i].begin(),e[i].end());
	}
	for(int i=1;i<=n;++i) {
		int pd=read_(),l=read_(),r=read_(),c=read_();
		if(!pd) update_(l,r,c);
		else printf("%d\n",query_(l,r,c*c));
	}
}

int main() {
	freopen("a.txt","r",stdin);
	readda_();
	return 0;
}

数列分块入门 3

• 给出一个长为$n$的数列，以及$n$个操作，操作涉及区间加法，询问区间内小于某个值$x$的前驱（比其小的最大元素）。
• 和上一题差不多，使块内的元素单调，可以使用二分查询$x$的位置，$x$的前驱就是其前面那个
• 我们开个$vis[i]$表示$i$号块是否被暴力修改，在查询时再去维护其单调性，不用修改了就去维护，有可能询问区间不涉及暴力修改区间

#include 
using namespace std;
#define maxn 100010
#define maxt 330

int t,n,a[maxn],L[maxt],R[maxt],pos[maxn],la[maxt];
bool vis[maxt];
vector <int > e[maxt];

inline int read_() {
   int x_=0,f_=1;char c_=getchar();
   while(c_<'0'||c_>'9') {if(c_=='-') f_=-1;c_=getchar();}
   while(c_>='0'&&c_<='9') {x_=(x_<<1)+(x_<<3)+c_-'0';c_=getchar();}
   return x_*f_;
}

inline void resert_(int x) {
   e[x].clear();
   for(int i=L[x];i<=R[x];++i) e[x].push_back(a[i]);
   sort(e[x].begin(),e[x].end());
   vis[x]=0;
} 
inline void update_(int l,int r,int w) {
   int LL=pos[l],RR=pos[r];
   if(LL==RR) {
   	for(int i=l;i<=r;++i) a[i]+=w;
   	vis[LL]=1;
   }
   else {
   	for(int i=l;i<=R[LL];++i) a[i]+=w;
   	vis[LL]=1;
   	for(int i=L[RR];i<=r;++i) a[i]+=w;
   	vis[RR]=1;
   	for(int i=LL+1;i<=RR-1;++i) la[i]+=w;
   }
} 

inline int query_(int l,int r,int w) {
   int LL=pos[l],RR=pos[r];
   if(LL==RR) {
   	int ans=-1;
   	for(int i=l;i<=r;++i) {
   		if(a[i]+la[pos[i]]<w) {
   			ans=max(ans,a[i]+la[pos[i]]);
   		}
   	}
   	return ans;
   }
   else {
   	int ans=-1;
   	for(int i=l;i<=R[LL];++i) {
   		if(a[i]+la[pos[i]]<w) {
   			ans=max(ans,a[i]+la[pos[i]]);
   		} 
   	}
   	for(int i=L[RR];i<=r;++i) {
   		if(a[i]+la[pos[i]]<w) {
   			ans=max(ans,a[i]+la[pos[i]]);
   		}
   	}
   	for(int i=LL+1;i<=RR-1;++i) {
   		if(vis[i]) resert_(i);
   		int AKIOI=lower_bound(e[i].begin(),e[i].end(),w-la[i])-e[i].begin();
   		if(!AKIOI) continue;
   		ans=max(ans,e[i][AKIOI-1]+la[i]);
   	} 
   	return ans;
   }
}

void readda_() {
   n=read_();
   for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read_();
   t=sqrt(n);
   for(int i=1;i<=t;++i) {
   	L[i]=(i-1)*t+1;
   	R[i]=i*t;
   }
   if(R[t]<n) {++t;L[t]=R[t-1]+1;R[t]=n;}
   for(int i=1;i<=t;++i) {
   	for(int j=L[i];j<=R[i];++j) {
   		pos[j]=i;
   		e[i].push_back(a[j]);
   	}
   	sort(e[i].begin(),e[i].end());
   }
   for(int i=1;i<=n;++i) {
   	int pd=read_(),l=read_(),r=read_(),c=read_();
   	if(!pd) update_(l,r,c);
   	else printf("%d\n",query_(l,r,c));
   }
}

int main() {
   freopen("a.txt","r",stdin);
   readda_();
   return 0;
}

• 当然，这个题想表达的思想是块内又可以用另一种数据结构来实现，所以块内部可以用$set$来实现

#include 
using namespace std;
#define maxn 100010
#define maxt 330

int n,L[maxt],R[maxt],la[maxt],a[maxn],t,pos[maxn];
set <int > e[maxt];

inline int read_() {
	int x_=0,f_=1;char c_=getchar();
	while(c_<'0'||c_>'9') {if(c_=='-') f_=-1;c_=getchar();}
	while(c_>='0'&&c_<='9') {x_=(x_<<1)+(x_<<3)+c_-'0';c_=getchar();}
	return x_*f_;
}

inline void update_(int l,int r,int w) {
	int LL=pos[l],RR=pos[r];
	if(LL==RR) {
		for(int i=l;i<=r;++i) {
			e[LL].erase(a[i]);
			a[i]+=w;
			e[LL].insert(a[i]);
		} 
	}
	else {
		for(int i=l;i<=R[LL];++i) {
			e[LL].erase(a[i]);
			a[i]+=w;
			e[LL].insert(a[i]);
		} 
		for(int i=L[RR];i<=r;++i) {
			e[RR].erase(a[i]);
			a[i]+=w;
			e[RR].insert(a[i]);
		}
		for(int i=LL+1;i<=RR-1;++i) la[i]+=w;
	}
}

inline int query_(int l,int r,int w) {
	int LL=pos[l],RR=pos[r];
	if(LL==RR) {
		int ans=-1,AKIOI;
		for(int i=l;i<=r;++i) {
			AKIOI=a[i]+la[LL];
			if(AKIOI<w) ans=max(ans,AKIOI); 
		}
		return ans;
	}
	else {
		int ans=-1,AKIOI;
		for(int i=l;i<=R[LL];++i) {
			AKIOI=a[i]+la[LL];
			if(AKIOI<w) ans=max(ans,AKIOI);
		} 
		for(int i=L[RR];i<=r;++i) {
			AKIOI=a[i]+la[RR];
			if(AKIOI<w) ans=max(ans,AKIOI);
		}
		for(int i=LL+1;i<=RR-1;++i) {
			set<int> :: iterator it=e[i].lower_bound(w-la[i]); 
			if(it==e[i].begin()) continue;
			--it;
			ans=max(ans,*it+la[i]);
     	}
     	return ans;
	}
} 

void readda_() {
	n=read_();
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read_();
	t=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=t;++i) {
		L[i]=(i-1)*t+1;
		R[i]=i*t;
	}
	if(R[t]<n) {++t;L[t]=R[t-1]+1;R[t]=n;}
	for(int i=1;i<=t;++i) {
		for(int j=L[i];j<=R[i];++j) {
			pos[j]=i;
			e[i].insert(a[j]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i) {
		int pd=read_(),l=read_(),r=read_(),c=read_();
		if(!pd) update_(l,r,c);
		else printf("%d\n",query_(l,r,c));
	}
}

int main() {
	freopen("a.txt","r",stdin);
	readda_();
	return 0;
}

数列分块入门 4

• 给出一个长为$n$的数列，以及$n$个操作，操作涉及区间加法，区间求和。
• 每个块维护一个块的总和$sum[i]$
• 修改时，不完整块暴力修改$a和sum$,完整块修改$lazy$
• 询问时，不完整块暴力询问，完整块询问和，注意加上$lazy\ast 区间长度$
• 要开$long$ $long$

#include 
using namespace std;
#define maxn 50010
#define maxt 240

int n,L[maxt],R[maxt],pos[maxn],t;
long long a[maxn],sum[maxt],la[maxt];

inline long long read_() {
	long long x_=0,f_=1;char c_=getchar();
	while(c_<'0'||c_>'9') {if(c_=='-') f_=-1;c_=getchar();}
	while(c_>='0'&&c_<='9') {x_=(x_<<1)+(x_<<3)+c_-'0';c_=getchar();}
	return x_*f_;
}

inline void update_(int l,int r,int w) {
	int LL=pos[l],RR=pos[r];
	if(LL==RR) {
		for(int i=l;i<=r;++i) {
			a[i]+=w;
			sum[LL]+=w;
		} 
	}
	else {
		for(int i=l;i<=R[LL];++i) {
			a[i]+=w;
			sum[LL]+=w;
		}
		for(int i=L[RR];i<=r;++i) {
			a[i]+=w;
			sum[RR]+=w;
		}
		for(int i=LL+1;i<=RR-1;++i) la[i]+=w;
	}
}

inline long long query_(int l,int r) {
	int LL=pos[l],RR=pos[r];
	long long ans=0;
	if(LL==RR) {
		for(int i=l;i<=r;++i) ans+=a[i];	
		ans+=(r-l+1)*la[LL];
	}
	else {
		for(int i=l;i<=R[LL];++i) ans+=a[i];
		ans+=(R[LL]-l+1)*la[LL];
		for(int i=L[RR];i<=r;++i) ans+=a[i];
		ans+=(r-L[RR]+1)*la[RR];
		for(int i=LL+1;i<=RR-1;++i) {
			ans+=sum[i];
			ans+=(R[i]-L[i]+1)*la[i];
		}
	}
	return ans;
}

void readda_() {
	n=read_();
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read_();
	t=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=t;++i) {
		L[i]=(i-1)*t+1;
		R[i]=i*t;
	}
	if(R[t]<n) {++t;L[t]=R[t-1]+1;R[t]=n;}
	for(int i=1;i<=t;++i) {
		for(int j=L[i];j<=R[i];++j) {
			pos[j]=i;
			sum[i]+=a[j];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i) {
		int pd=read_(),l=read_(),r=read_(),c=read_();
		if(!pd) update_(l,r,c);
		else printf("%lld\n",query_(l,r)%(c+1));
	} 
}

int main() {
	freopen("a.txt","r",stdin);
	readda_();
	return 0;
}

数列分块入门 5

• 给出一个长为$n$的数列 ，以及$n$个操作，操作涉及区间开方，区间求和。
• 修改：不是完整的块暴力修改，对于完整的块？我们也只能暴力修改，但如果块内元素都小于等于$1$，就不用去修改了，而一个很大的数开方几次就到$1$了，所以复杂度是能承受的。
• 询问：不完整的块暴力询问，完整的块询问块的和

#include 
using namespace std;
#define maxn 50010
#define maxt 240

int n,a[maxn],L[maxt],R[maxt],sum[maxt],pos[maxn],t;
bool flag[maxt];

inline int read_() {
   int x_=0,f_=1;char c_=getchar();
   while(c_<'0'||c_>'9') {if(c_=='-') f_=-1;c_=getchar();}
   while(c_>='0'&&c_<='9') {x_=(x_<<1)+(x_<<3)+c_-'0';c_=getchar();}
   return x_*f_;
}

inline void solve_(int x) {
   if(flag[x]) return ;
   flag[x]=1;
   for(int i=L[x];i<=R[x];++i) {
   	sum[x]-=a[i];
   	a[i]=sqrt(a[i]);
   	sum[x]+=a[i];
   	if(a[i]>1) flag[x]=0; 
   }
}

inline void update_(int l,int r,int w) {
   int LL=pos[l],RR=pos[r];
   if(LL==RR) {
   	for(int i=l;i<=r;++i) {
   		sum[LL]-=a[i];
   		a[i]=sqrt(a[i]);
   		sum[LL]+=a[i];
   	}
   }
   else {
   	for(int i=l;i<=R[LL];++i){
   		sum[LL]-=a[i];
   		a[i]=sqrt(a[i]);
   		sum[LL]+=a[i];
   	}
   	for(int i=L[RR];i<=r;++i) {
   		sum[RR]-=a[i];
   		a[i]=sqrt(a[i]);
   		sum[RR]+=a[i];
   	}
   	for(int i=LL+1;i<=RR-1;++i) solve_(i);
   }
}

inline int query_(int l,int r) {
   int LL=pos[l],RR=pos[r];
   int ans=0;
   if(LL==RR) {
   	for(int i=l;i<=r;++i) ans+=a[i];
   }
   else {
   	for(int i=l;i<=R[LL];++i) ans+=a[i];
   	for(int i=L[RR];i<=r;++i) ans+=a[i];
   	for(int i=LL+1;i<=RR-1;++i) ans+=sum[i];
   }
   return ans;
}

void readda_() {
   n=read_();
   for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read_();
   t=sqrt(n);
   for(int i=1;i<=t;++i) {
   	L[i]=(i-1)*t+1;
   	R[i]=i*t;
   }
   if(R[t]<n) {++t;L[t]=R[t-1]+1;R[t]=n;}
   for(int i=1;i<=t;++i) {
   	for(int j=L[i];j<=R[i];++j) {
   		pos[j]=i;
   		sum[i]+=a[j];
   	}
   } 
   for(int i=1;i<=n;++i) {
   	int pd=read_(),l=read_(),r=read_(),c=read_();
   	if(!pd) update_(l,r,c);
   	else printf("%d\n",query_(l,r));
   }
}

int main() {
   freopen("a.txt","r",stdin);
   readda_();
   return 0;
}