C++实现计算组合数（详细）

题目：

计算两个非负整数n和m，返回组合数。例如当n < 25,m = 12 时，答案为5200300。

计算组合数的公式：

 先从排列数说起，排列数指从n个不同的元素中取出m(m <= n)个元素的所有不同排列的个数。

由这个定义可以得到排列数公式为： = n * (n - 1) .....(n - m + 1) = 

组合数和排列数的区别在于组合数与元素的顺序无关，排列数与元素的顺序有关。

有公式：

程序：

按照组合数的公式有：
 

#include
using namespace std;

long long factorial(int n)
{
	long long m = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++){
		m *= i;
		return m;
	}
}
long long C(int n, int m)
{
	return factorial(n) / (factorial(m)*factorial(n - m));
}

int main()
{
	printf("%lld\n",C(25,12));
	return 0;
}

得到结果为1。数据发生溢出了。毕竟阶乘比指数增长的更快。

 

改进：

#include
using namespace std;

long long C(int n, int m)
{
	if (m < n - m) m = n - m;
	long long ans = 1;
	for (int i = m + 1; i <= n; i++) ans *= i;
	for (int i = 1; i <= n - m; i++) ans /= i;
	return ans;
}

int main()
{
	printf("%lld\n",C(25,12));
	return 0;
}

当m < n-m 时，把n - m 改为 m,运用了这个性质。从而实现常数级优化。

同时对表达式进行了化简。

 

源思路来自于刘汝佳的《算法竞赛入门经典(第二版)》。