购物单问题（有依赖的背包问题）

题目描述

王强今天很开心，公司发给N元的年终奖。王强决定把年终奖用于购物，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：
主件 附件
电脑 打印机，扫描仪
书柜 图书
书桌 台灯，文具
工作椅 无
如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有 0 个、 1 个或 2 个附件。附件不再有从属于自己的附件。王强想买的东西很多，为了不超出预算，他把每件物品规定了一个重要度，分为 5 等：用整数 1 ~ 5 表示，第 5 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是 10 元的整数倍）。他希望在不超过 N 元（可以等于 N 元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。
设第 j 件物品的价格为 v[j] ，重要度为 w[j] ，共选中了 k 件物品，编号依次为 j 1 ， j 2 ，……， j k ，则所求的总和为：
v[j 1 ]*w[j 1 ]+v[j 2 ]*w[j 2 ]+ … +v[j k ]*w[j k ] 。（其中 * 为乘号）
请你帮助王强设计一个满足要求的购物单。

输入描述:
输入的第 1 行，为两个正整数，用一个空格隔开：N m

（其中 N （ <32000 ）表示总钱数， m （ <60 ）为希望购买物品的个数。）

从第 2 行到第 m+1 行，第 j 行给出了编号为 j-1 的物品的基本数据，每行有 3 个非负整数 v p q

（其中 v 表示该物品的价格（ v<10000 ）， p 表示该物品的重要度（ 1 ~ 5 ）， q 表示该物品是主件还是附件。如果 q=0 ，表示该物品为主件，如果 q>0 ，表示该物品为附件， q 是所属主件的编号）

输出描述:
输出文件只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（ <200000 ）。
示例1
输入
1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0
输出
2200

解析

这道题和01背包问题很相似，但关键点在于每件物品区分了是主件还是附件，如果是附件的话需要先购买主件才行，因此用一个二维数组来存储物品的价格及重要度，附件与所属主件的第一个下标相同，而第二个下标区分是主件还是附件，因为至多有2个附件，因此用0,1,2分别表示是主件,附件1,附件2。这样就将主件与附件套在一起，看成一个物品组。对每一个物品组进行处理就转换为01背包问题。
递推表达式为：

if(pr[i][0] == 0)
	dp[i][j] = dp[i-1][j];
else{
	if(j - pr[i][0] >= 0){
		dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-pr[i][0]] + pr[i][0]*imp[i][0]);//只要主件
		if(j - pr[i][0] - pr[i][1] >= 0)//主件加附件1
			dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j-pr[i][0]-pr[i][1]] + pr[i][0]*imp[i][0] + pr[i][1]*imp[i][1]);
		if(j - pr[i][0] - pr[i][2] >= 0)//主件加附件2
			dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j-pr[i][0]-pr[i][2]] + pr[i][0]*imp[i][0] + pr[i][2]*imp[i][2]);
		if(j - pr[i][0] - pr[i][1]- pr[i][2] >= 0)//主件加附件1，附件2
			dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j-pr[i][0]-pr[i][1]-pr[i][2]] + pr[i][0] * imp[i][0] + pr[i][1]*imp[i][1] + pr[i][2]*imp[i][2]);
	}
	else//买不起主件
		p[i][j] = dp[i-1][j];
}

解释：
dp[i][j]存储的是前i件物品，一共有j的钱数这个子问题的答案。
因为用二维数组表示物品，因此在空间上有冗余，并不是每一个下标都给予赋值(比如假设第二个输入的物品是第一个的附件，那么pr[2][0]其实并没有进行赋值，还是初值0，但下一个物品进来i变为了3)。因此先判断pr[i][0]是否为0，如果为0，说明这个物品不存在，则这一轮dp[i][j]与上一轮相同。
如果pr[i][0]不为0，则判断是否能买第i件主件，如果能买，就像01背包问题一样，比较买了求解出的答案更高还是不买，然后判断买了主件的前提下能否买附件，可能的组合有：
主件+附件1
主件+附件2
主件+附件1+附件2
然后与只前买主件还是不买求解出的dp[i][j]相比较，取最大值。

代码

#include
#include
using namespace std;

int main()
{
    int N,m,i,j;
    int p,v,q;
    cin >> N >> m;
    int pr[60][3] = {0};//存储主件价格及附件价格
    int imp[60][3] = {0};//存储主件重要度及附件重要度
    int dp[60][32000];//子问题求解
    for(i = 1; i <= m; i++){
        cin >> p >> v >> q;
        if(q == 0){
            pr[i][0] = p;
            imp[i][0] = v;
        }
        else{
            if(pr[q][1] == 0){
                pr[q][1] = p;
                imp[q][1] = v;
            }
            else{
                pr[q][2] = p;
                imp[q][2] = v;
            }
        }
    }
    for(i = 1; i <= m; i++){
        for(j = 1; j <= N; j++){
            if(pr[i][0] == 0)
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            else{
                if(j - pr[i][0] >= 0){
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-pr[i][0]] + pr[i][0]*imp[i][0]);//只要主件
                    if(j - pr[i][0] - pr[i][1] >= 0)//主件加附件1
                        dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j-pr[i][0]-pr[i][1]] + pr[i][0]*imp[i][0] + pr[i][1]*imp[i][1]);
                    if(j - pr[i][0] - pr[i][2] >= 0)//主件加附件2
                        dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j-pr[i][0]-pr[i][2]] + pr[i][0]*imp[i][0] + pr[i][2]*imp[i][2]);
                    if(j - pr[i][0] - pr[i][1]- pr[i][2] >= 0)//主件加附件1，附件2
                        dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j-pr[i][0]-pr[i][1]-pr[i][2]] + pr[i][0]*imp[i][0] + pr[i][1]*imp[i][1] + pr[i][2]*imp[i][2]);
                }
                else//买不起主件
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
        }
    }
    cout << dp[m][N];
}

参考文章：

(1) 千杯湖底沙. https://blog.csdn.net/qq_39670434/article/details/79476928