矩阵乘法加速递推

学习本算法最好有一定的数学基础

引入

先来看一下这样一道题：

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给定递推式

f[i]=f[i−2]+f[i−1]+i+1 f [ i ] = f [ i − 2 ] + f [ i − 1 ] + i + 1

若 f[1]=f[2]=1 f [ 1 ] = f [ 2 ] = 1 求 f[n](n<=1e9) f [ n ] ( n <= 1 e 9 )

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看到数据范围，可能会感觉无从下手，推算 f f 也发现并不能找到规律，这个时候我们怎么办呢？
这就衍生除了一个强大的算法——矩阵乘法

先看概念

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概念

设 A A 是 n×m n × m 的矩阵，当且仅当 B B 是 m×n m × n 的矩阵时，它们可以进行矩阵乘法，它们的积是一个 n×n n × n 的矩阵 C C

解题

那这有什么用呢？我们重新看回上面那道题

f[i]=f[i−2]+f[i−1]+i+1 f [ i ] = f [ i − 2 ] + f [ i − 1 ] + i + 1

观察发现，其实当我们要往下一步进行推算时，每个项都有相应的变化，即
第一项 f[i−2] f [ i − 2 ] -> f[i−1] f [ i − 1 ]
第二项 f[i−1] f [ i − 1 ] -> f[i] f [ i ] -> f[i−2]+f[i−1]+n+1 f [ i − 2 ] + f [ i − 1 ] + n + 1
第三项 i i -> i+1 i + 1
第四项 1 1 不变

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也就是说，它们之间是具有互相递推的关系的，我们就可以用矩阵乘法对应每个项的系数即可

最后因为矩阵乘法满足结合律，所以我们可以先算出中间矩阵的 n n 次方，求解即可

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详细解法见：https://blog.csdn.net/xuxiayang/article/details/82021171