2020牛客暑期多校训练营Decrement on the Tree(图论，set)

Decrement on the Tree

题目描述

样例

input:
5 3
1 2 3
1 3 4
2 4 5
3 5 6
1 10
2 10
3 10
output:
8
12
10
10

题目大意

给你一棵树，现在你可以选择其中的一条链，将其边上的权值都减一。并且每条边的权值不能为负数。要求最少要删除多少次(每次只能减一)，才能使得整棵树的权值都是0。(只需要输出答案，而不是修改)
并且，在给出答案之后，会有$q$次修改，将某一条边的权值改成另一个，这时你要再一次输出答案。

分析

首先看到题目有一种树剖的感觉，但是显然，求答案时无法很好地用树剖解决。

所以这题应该是要维护每条边的权值。我们不妨思考一下求答案的过程实际是什么。实际就是找最少的链将树覆盖，然后每条边的重叠次数都有限制。
由于每条链唯一地由两个端点决定，所以，我们不妨考虑一下一棵树被覆盖后的链的端点处在那些节点上。

如图，我已经将覆盖所用的链用不同的颜色标出。可以发现：

• 如果出现图三的情况，即一个点相连的边的权值中$Max$大于其他边的和，那么其他边可以通过$Max$通向其他的节点作为终点，而$Max$减去其他边总和数量的链只有将这个点作为端点了。这样，以这个点为端点个数就是$Max-Others$。
• 如果图二的情况，即没有一条边是大于其他边权和(虽然上图也是，但是请假装2不大于1:))，那么就要考虑欧拉回路的知识，如果是奇数，那么肯定有一个端点，如果是图一一样的偶数，那么可以做到这个点上没有端点。

那么用上述的方法可以求得整棵树上的端点个数，那么除以2就是链的个数了。

然后考虑修改的操作，我们只要维护一个$multiset$，由于每条边只会影响到相连的两个节点。然后找到要修改的值，直接修改就可以了。这里就大大体现了$STL$的优势美滋滋。

代码

#include
#define ll long long
using namespace std;
const int MAXN=1e5+10;
ll len[MAXN],sum[MAXN],ans=0;//len 第i条边的权值 sum 第i个点的与之相连的边权和 ans 端点个数
pair<ll,ll> edge[MAXN];//第i条边的两个端点
multiset<ll> du[MAXN];//点相连的每条边权
multiset<ll>::iterator it;//迭代器
ll getnum(int x){//获取第x个节点的端点数
	it=--(du[x].end());//Max
	if(*it>sum[x]-*it) return *it-(sum[x]-*it);//如果Max大于其他点
	return sum[x]&1;//如果点没有出现上述情况，考虑奇数偶数
}
void update(int id,int x,ll w){//修改的边编号为id，当前考虑的点为x，修改为w
	ans-=getnum(x);//减去当前节点的
	du[x].erase(du[x].find(len[id]));du[x].insert(w);//删除之前这条边，然后插入新的
	sum[x]=sum[x]-len[id]+w;//更新x节点的边权和
	ans+=getnum(x);//重新算当前节点的端点数，并加入答案
}
int main()
{
	ll n,q,id,u,v,w;
	scanf("%lld%lld",&n,&q);
	if(n==1){puts("0");while(q--) puts("0");return 0;}
	//SPJ没有边的情况，虽然没有这组测试数据，但是还是要加上的
	//如果没有边，multiset的末尾指针减一会炸掉
	for(int i=1;i<n;i++){
		scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
		edge[i]=make_pair(u,v);len[i]=w;
		du[u].insert(w);du[v].insert(w);
		sum[u]+=w;sum[v]+=w;
	}//读入
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans+=getnum(i);
	printf("%lld\n",ans/2);//先算当前的答案
	while(q--){
		scanf("%lld%lld",&id,&w);
		ll u=edge[id].first,v=edge[id].second;//取出边的两个节点
		update(id,u,w);update(id,v,w);//修改答案和点的边权和
		len[id]=w;//修改边权
		printf("%lld\n",ans/2);
	}
}

END

$multiset$万岁！！！