泊松分布知识总结及例子
泊松分布经常出现在IT类技术面试中，虽然工作中我还没遇到需要用泊松分布解决的问题，但我想深入理解泊松分布对于服务器处理访问请求，以及对各种小概率事件的估计预测都有重要作用，所以花时间整理了下资料，以备忘及分享讨论。
泊松分布
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数，宇宙中单位体积内星球的个数 ，耕地上单位面积内杂草的数目等 。
泊松分布的概率质量函数为：
泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。
泊松分布的由来
在二项分布的伯努利试验中，如果试验次数n很大，二项分布的概率p很小，且乘积λ= n p比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散时间上的对应物。
证明如下。首先，回顾e的定义：
二项分布的定义：
如果令, 趋于无穷时的极限:
举个例子
让我们先通过一个例子，了解什么是"泊松分布"。
已知某家小杂货店，平均每周售出2个水果罐头。请问该店水果罐头的最佳库存量是多少？
假定不存在季节因素，可以近似认为，这个问题满足以下三个条件：
（1）顾客购买水果罐头是小概率事件。
（2）购买水果罐头的顾客是独立的，不会互相影响。
（3）顾客购买水果罐头的概率是稳定的。
在统计学上，只要某类事件满足上面三个条件，它就服从"泊松分布"。
泊松分布的公式如下：
各个参数的含义：
P：每周销售k个罐头的概率。
X：水果罐头的销售变量。
k：X的取值（0，1，2，3...）。
λ：每周水果罐头的平均销售量，是一个常数，本题为2。
根据公式，计算得到每周销量的分布：
从上表可见，如果存货4个罐头，95%的概率不会缺货（平均每19周发生一次）；如果存货5个罐头，98%的概率不会缺货（平均59周发生一次）。
再举个例子
我们可以把一个小时分成很多区间，比如60个区间，那么每分钟就是m/60个人，如果m/60大于一个人，那我们可以把区间分得更小，不能让单位区间人数超过1人，这样我们就可以把单位区间到达1人认为成功，否则是失败，于是用下面的式子来求概率。
P(x=3)=C(60,3)*(m/60)^3*(1-m/60)^(60-3)，这个式子C(60,3)是3个人可以是60个区间的任意3个区间，后面分别是3个区间有人的概率和57个区间无人的概率。
更一般来讲
P(x=k)=C(n,k)*(λ/n)^k*(1-λ/n)^(n-k)=λ^k/k! *exp(-λ)
最大似然估计
给定n个样本值ki，希望得到从中推测出总体的泊松分布参数λ的估计。为计算最大似然估计值, 列出对数似然函数：
对函数L取相对于λ的导数并令其等于零:
解得λ从而得到一个驻点（stationary point）:
检查函数L的二阶导数，发现对所有的λ 与ki大于零的情况二阶导数都为负。因此求得的驻点是对数似然函数L的极大值点:
最大似然估计举个例子
对某公共汽车站的客流做调查，统计了某天上午10：30到11：47来到候车的乘客情况。假定来到候车的乘客各批（每批可以是1人也可以是多人）是互相独立发生的。观察每20秒区间来到候车的乘客批次，共观察77分钟*3=231次，共得到230个观察记录。其中来到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上的观察记录分别是100个、81个、34个、9个、6个。使用极大似真估计（MLE），得到的估计为200/231=0.8658。
泊松分布的性质
概率质量函数
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累积分布函数
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| 参数 | |
|---|---|
| 支撑集 | |
| 概率質量函數 | |
| 累积分布函数 | |
| 期望值 | |
| 众数 | |
| 方差 | |
| 偏度 | |
| 峰度 | |
| 动差生成函数 | |
| 特性函数 | |
参考：
【1】 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%8A%E6%9D%BE%E5%88%86%E4%BD%88 泊松分布 wiki
【2】 http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/01/poisson_distribution.html 泊松分布与美国枪击案
【3】 http://maider.blog.sohu.com/304621504.html 如何理解泊松分布和泊松过程