阶 和 原根

阶

定义

设m > 1 且 (a, m) = 1, 则使得

at≡1(modm)

成立的最小的正整数t称为 a对模m的阶, 记为 δm(a) 。

定理

定理1 若m>1且(a, m) = 1, 且 an≡1(modm) , n > 0, 则 δm(a)|n 。
定理2 由定理1易知 δm(a)|ϕ(m) 。

推论

推论1 若p和q为奇素数，且 q|(ap−1) , 则或有 q|(a−1) ,或有 q=2kp+1 , 其中k为某整数。
推论2  2p−1 的任何因子必取 2kp+1 的形式。

原根

定义

如果a的阶(mod m)为 ϕ(m) , 则称a为m的一个原根。
即若 δm(a)=ϕ(m) , 则称a为m的一个原根。

定理

定理1 若g是m的一个原根，则

g,g2,⋯,gϕ(m)

各数对模m的最小剩余，恰是小于m且与m互素的 ϕ(m) 个正整数的一个排列。
定理2*  每一个素数p都有 ϕ(p−1) 个原根。事实上, 每一个数m都有 ϕ(ϕ(m)) 个原根(如果有的话)。
定理3 一个数m有原根的充要条件是 m=1,2,4,pe,2pe , 其中p为奇素数， e为正整数。

推论

推论1 若 d|(p−1) ,则 xd≡1(modp) 恰有 d 个解
推论2 若p为素数, d|(p−1) ,则阶为d的最小剩余(mod p)的个数为 ϕ(d) 。

原根的求法

求一个数m的原根，先求 ϕ(m) 的素幂分解式，即

ϕ(m)=pe11pe22⋯pekk

然后枚举g，若g满足恒有

gϕ(m)pi≠1(modm),i=1,2,⋯,k

则g为m的一个原根。
//数据不大的时候枚举所有 ϕ(m) 的因子(除本身)也可。

入门练手

Primitive Roots POJ - 1284
原根 51Nod - 1135