[数值分析]不动点迭代法

1. 1. 不动点与不动点迭代法

对于方程

f(x)=0(1.1) (1.1) f ( x ) = 0

改写成

x=φ(x)(1.2) (1.2) x = φ ( x )

若要求 x∗ x ∗ 满足 f(x∗)=0 f ( x ∗ ) = 0 ，则 x∗=φ(x∗) x ∗ = φ ( x ∗ ) ;反之亦然。则称 x∗ x ∗ 为函数 φ(x) φ ( x ) 的一个不动点。
选择一个初始近似值 x0 x 0 ，将它代入 (1.2) ( 1.2 ) 式子右端，即可求得

x1=φ(x0) x 1 = φ ( x 0 )

可以如此反复迭代计算得到

xk+1=φ(xk),k=0,1,....(1.3) (1.3) x k + 1 = φ ( x k ) , k = 0 , 1 , . . . .

φ(x) φ ( x ) 称为迭代函数，如果对于任何 x0∈[a,b] x 0 ∈ [ a , b ] ，由 (1.3) ( 1.3 ) 式子得到的序列 {xk} { x k } 有极限

limk→∞xk=x∗ lim k → ∞ x k = x ∗

则称迭代方程 (1.3) ( 1.3 ) 收敛，且 x∗=φ(x∗) x ∗ = φ ( x ∗ ) 为 φ(x) φ ( x ) 的不动点，故称 (1.3) ( 1.3 ) 为不动点迭代法。

更简单的说不动点也可看成 y=φ(x)与y=x y = φ ( x ) 与 y = x 的交点。
如图

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2. 2. 不动点的存在性与迭代法的收敛性

首先考察 φ(x) φ ( x ) 在[a,b]上不动点的存在唯一性。