[容斥][dp][卡特兰数]登山

sol：显然是dp容斥+卡特兰数。
卡特兰数是用来求点之间路径的条数的。
然后容斥dp，用f[i]表示只经过i这个障碍点的方案数。
那么
f[i]=f[j]*way(j,i)
f[i]=way(源点，i)-f[i]

最后我们加入n,n，答案就在里面。

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using namespace std;
typedef long long ll;
const int pyz=1e9+7;
int n,m;
inline int read()
{
    char c;
    int res,flag=0;
    while((c=getchar())>'9'||c<'0') if(c=='-')flag=1;
    res=c-'0';
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9') res=(res<<3)+(res<<1)+c-'0';
    return flag?-res:res;
}
const int M=210000;
struct cc
{
    int x,y;
}q[M];
inline bool cmp(const cc &a,const cc &b)
{
    return (a.xx)||(a.x==b.x&&a.yy);
}
int ksm(int s,int t)
{
    int res=1;
    while(t)
    {
        if(t&1) res=(ll)res*s%pyz;
        s=(ll)s*s%pyz;
        t>>=1;
    }
    return res;
}
int fac[M],inv[M];
inline int C(int n,int m)
{
    return (ll)fac[n]*inv[m]%pyz*inv[n-m]%pyz;
}
inline void spit(int &x)
{
    x=(x%pyz+pyz)%pyz;
}
inline int way(int x1,int y1,int x2,int y2)
//从x1,y1走到x2,y2 
{
    if(y1>y2) return 0;
    int x3=y2-1,y3=x2+1;
    int tmp=C(x2+y2-x1-y1,x2-x1);
    if(y1>y3||x1>x3) return tmp;
    tmp=tmp-C(x3+y3-x1-y1,x3-x1);
    spit(tmp);
    return tmp;
}
int dn;
int f[M];
int main()
{
    freopen("walk.in","r",stdin);
    freopen("walk.out","w",stdout);
    n=read();
    m=read();
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        q[i].x=read();
        q[i].y=read();
    }
    ++m;
    q[m].x=n;
    q[m].y=n;
    sort(q+1,q+1+m,cmp);
    dn=n<<1;
    fac[0]=inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=dn;++i) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%pyz;
    inv[dn]=ksm(fac[dn],pyz-2);
    for(int i=dn-1;i>=1;--i) inv[i]=(ll)inv[i+1]*(i+1)%pyz;
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        for(int j=1;j*way(q[j].x,q[j].y,q[i].x,q[i].y)%pyz)%pyz;
        f[i]=way(0,0,q[i].x,q[i].y)-f[i];
        spit(f[i]);
    }
    printf("%d",f[m]);
}