中国剩余定理（CRT）

中国剩余定理（CRT）

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问题背景：

求解同余方程组：

$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(mod{m}_1)\\ x\equiv a_2(mod{m}_2)\\ x\equiv a_3(mod{m}_3)\\ \cdot \cdot \cdot \\ x\equiv a_n(mod{m}_n)\end{array}$

其中$m_1,m_2\cdot \cdot \cdot m_n$两两互质

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定理：

$M={\prod }_{i=1}^n{m}_i,M_i=M/m_i$
$t_i$是线性同余方程$M_i{t}_i\equiv 1(mod{m}_i)$的一个解。($M_i，m_i$互质，拓展欧几里得可以求解)
则同余方程组的解为：$x={\sum }_{i=1}^n{a}_i{M}_i{t}_i$。而且在模M意义下x有唯一解。

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定理特解证明：
    把x代入同余任一同余方程:

$\because M_i=M/m_i$，

$\therefore a_i{M}_i{t}_i\equiv 0(mod{m}_k)(i̸=k)$

同余方程化为：

$\therefore a_k{M}_k{t}_k\equiv a_k(mod{m}_k)$

$\therefore M_k{t}_k\equiv 1(mod{m}_k)$

显然成立。

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模M内唯一解证明：

假设存在解$x_1$。
还存在另一个解$x_2=x_1+d+tM(d\%M>0),t$为整数。
代入所有同余方程：
$x_1\equiv 1(mod{m}_1)$
$x_2=x_1+d+tM\equiv x_1+d\equiv 1(mod{m}_1)$
$x_1\equiv 1(mod{m}_2)$
$x_2=x_1+d+tM\equiv x_1+d\equiv 1(mod{m}_2)$
$\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$
$x_1\equiv 1(mod{m}_n)$
$x_2=x_1+d+tM\equiv x_1+d\equiv 1(mod{m}_n)$

对于同余方程$1$，当$x_1{x}_2$同时成立时,$d=k_1{m}_1$。
对于同余方程$2$，当$x_1{x}_2$同时成立时,$d=k_2{m}_2$。
$\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$
对于同余方程$2$，当$x_1{x}_2$同时成立时,$d=k_3{m}_n$。

$\because m_i$互质且$m_i|d$

$\therefore M|d$

$\therefore x_2=x_1+d+tM\equiv x_1(modM)$

证毕。

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拓展中国剩余定理（EXCRT）：

当$m_i$不满足两两互质的时候，解同余方程组的最小整数解：

$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(mod{m}_1)\\ x\equiv a_2(mod{m}_2)\\ x\equiv a_3(mod{m}_3)\\ \cdot \cdot \cdot \\ x\equiv a_n(mod{m}_n)\end{array}$

取第一第二个同余方程：
$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(mod{m}_1)\\ x\equiv a_2(mod{m}_2)\end{array}$

导出：

$\{\begin{array}{l}x=a_1+k_1{m}_1\\ x=a_2+k_2{m}_2\end{array}$

联立：

$k_1{m}_1-k_2{m}_2=a_2-a_1=c$

裴蜀定理得：当$d=gcd(m_1,m_2)|c$时有解。

当$c<0$时，我们只能通过$c=(c\%m_2+m_2)\%m_2$来调整，因为在模$m_2$下同余类下调整影响的是$k_2$的取值，我们要求最小的$x$，即最小的$k_1$，一定不能影响$k_1$。

调整$c=(c\%m_2+m_2)\%m_2$

建立方程：$K_1{m}_1+K_2{m}_2=d$

两边同时乘以$c/d$

$\frac{K_{1}c}{d}{m}_1+\frac{K_{2}c}{d}{m}_2=c$

待定系数可得特解:

$k_{1特}=\frac{K_{1}c}{d}$

求最小的$x$即求最小的$k_1$

对于不定方程：$ax+by=c$，由拓展欧几里得的通解公式：

$x=x_0+t\frac{b}{gcd(a,b)}（t为整数）$

此时$k_1=k_{1特}+t\frac{m_2}{d}(t为整数)$

所以在同余类中最小的$k_1=(k_{1特}\%\frac{m_2}{d}+\frac{m_2}{d})\%\frac{m_2}{d}$

把$k_1$代入$x=a_1+k_1{m}_1$得到一个最小特解$x_0$

此时$x_0$满足：

$\{\begin{array}{l}{x}_0\equiv a_1(mod{m}_1)\\ x_0\equiv a_2(mod{m}_2)\end{array}$

此时第一第二个同余方程整合成了一个同余方程：

$x\equiv x_0(modlcm(m_1,m_2))$

这样通过递推即可求解。

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