C++使用O(n)的算法找到1~n的所有素数——欧拉筛法的模板代码及原理

我知道你们一定是想知道怎么用O（n）的算法找素数吧，这里先不急，看到最后你就会知道其中的原理。

先让我们看看平常我们是怎么找素数的（找1~n之间的素数）：

for(int i=2,flag=1;i<=n;i++) {//枚举2~n的数，判断其是不是素数
    for(int j=2;j*j<=i;j++) //此循环下都是判断是不是素数，时间复杂度为logn
        if(i%j==0)
            flag=0
    if(flag)
        cout<

这段代码运用了我们平常用的判断素数的方法来找出了1~n的所有素数，时间复杂度为O(nlogn)

尽管时间复杂度已经很低，但依然不尽如人意，有没有更好的，时间复杂度更低的算法来找出素数了。

答案肯定是有的（不然你就不会看到这篇博客了）

在给出代码前先给出一个定理，任何一个正整实数都可以分解成如下的形式：

这里简单解释一下，p代表一个素数，w表示这个素数的指数。

通俗点来说，就是任何一个正整实数都可以表示为多个不重复素数的一定次方相乘。

举个例子：,2和3都是素数。

你任意想一个数也都可以这么分解。

void sieve() {
    for(LL i=2;i<=n;i++) {
        if(!vis[i])
            prime[++cnt]=i;
        for(LL j=1;j<=cnt && i*prime[j]<=n;j++) {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(!(i%prime[j]))
                break;
        }
    }
}

(此代码为找出1~n的素数并存储到相应的数组prime中。）

估计现在有些同学要骂人了，这不是明摆着两重循环吗，怎么时间复杂度就是O(1)了？

我们可以先把这个疑问放下，深度来剖析一下代码。

vis[i]可以理解为判断i是否为素数。如果vis[i]=1，那么它就不是质数，否则就是。

cnt是计数，用来记录存储 了多少个素数。

prime用来存储质数。

if(!vis[i])
            prime[++cnt]=i;

这段的意思已经很清楚了，意思就是如果i是素数，就将他存到prime数组里，重点为下面的一个循环。

for(LL j=1;j<=cnt && i*prime[j]<=n;j++) {
            vis[i*prime[j]]=1;

枚举现在已经找到过的所有素数，将i*prime[j]标为合数（非素数）。

这段也应该比较好懂，i*prime[j]这个数已经有了i和prime[j]这两个因子，所以肯定不是素数。循环边界i*prime[j]<=n的意思是因为我们要找的是n以内的素数，所以i*prime[j]如果大于了n就没必要找，相当于是一个小优化。

if(!(i%prime[j]))
      break;

这句也是一个优化，当i能被prime[j]整除的时候，prime[j+1]*i一定会被筛掉（如果不懂的话要自己好好想想为什么）

 

那么欧拉筛法就基本上讲完了，如果读者们有什么不懂的地方可以评论留言我一下。