数据结构—— 最小生成树连通网的两种算法区别和用法【普里姆(Prim)算法-克鲁斯卡尔(Kruskal)算法】

目录：

一：最小生成树（Minimum Cost Spanning Tree）

1.定义

成本最小

2.图形化分析

3.分析

二：普里姆算法（Prim算法）

1.定义

2.算法步骤

3.算法简单描写叙述

A:输入：

B:初始化：

C:反复下列操作，直到Vnew = V：

D:输出：

4.图例描写叙述

5.普利姆(Prim)算法适用于求解无向图中的最小生成树

6.简单证明prim算法

7.算法代码实现(未检验)

8.时间复杂度

三：克鲁斯卡尔(Kruskal)算法

1.定义

2.算法步骤

3.算法简单描写叙述

A:记Graph中有v个顶点

B:新建图Graphnew

C:将原图Graph中全部e个边按权值从小到大排序

D:循环：

4.图例描写叙述

5.Kruskal算法构造最小生成树的过程图解 

6.简单证明Kruskal算法

A:归纳基础：

B:归纳过程：

7.算法代码实现(未检验)

8.时间复杂度

四：对比

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一：最小生成树（Minimum Cost Spanning Tree）

1.定义

把构造连通网的最小代价生成树称为 最小生成树

 

成本最小

就是个顶点

用条边把一个连通图连接起来

并且使权值的和最小

 

2.图形化分析

如图假设

表示9个村庄，现在需要在这9个村庄假设通信网络

村庄之间的数字代表村庄之间的直线距离，求用最小成本完成这9个村庄的通信网络建设

 

3.分析

这幅图只一个带权值的图，即网结构

 

如果无向连通图是一个网图

那么它的所有生成树中必有一颗是边的权值总和最小的生成树，即最小生成树

找连通网的最小生成树，经典的算法有两种：普里姆（Prim）算法 和 克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

 

二：普里姆算法（Prim算法）

1.定义

A:图论中的一种算法

B:可在加权连通图里搜索最小生成树

意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中

C:不但包括了连通图里的全部顶点（英语：Vertex (graph theory)）

D:且其全部边的权值之和亦为最小

 

历史由来：

该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现

并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现

1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法

 

因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法

2.算法步骤

A:从图中某一个顶点出发(这里选寻找它相连的所有结点，比较这些结点的权值大小，然后连接权值最小的那个结点。（这里是

B:然后将寻找这两个结点相连的所有结点，找到权值最小的连接。（这里是）

C:重复上一步，知道所有结点都连接上

3.算法简单描写叙述

A:输入：

一个加权连通图。当中顶点集合为V，边集合为E；

 

B:初始化：

Vnew = {x}，当中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；

 

C:反复下列操作，直到Vnew = V：

       a.在集合E中选取权值最小的边，当中u为集合Vnew中的元素

          而v不在Vnew集合当中。而且v∈V

        （如果存在有多条满足前述条件即具有同样权值的边，则可随意选取当中之中的一个）；

        b.将v增加集合Vnew中，将边增加集合Enew中。

 

D:输出：

使用集合Vnew和Enew来描写叙述所得到的最小生成树。

4.图例描写叙述

图例	说明	不可选	可选	已选（Vnew）
	此为原始的加权连通图。每条边一側的数字代表其权值。	-	-	-
	顶点D被随意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D近期的顶点。因此将A及对应边AD以高亮表示。	C, G	A, B, E, F	D
	下一个顶点为距离D或A近期的顶点。B距D为9，距A为7。E为15。F为6。因此，F距D或A近期，因此将顶点F与对应边DF以高亮表示。	C, G	B, E, F	A, D
	算法继续反复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。	C	B, E, G	A, D, F
	在当前情况下，能够在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E近期。因此将顶点E与对应边BE高亮表示。	无	C, E, G	A, D, F, B
	这里。可供选择的顶点仅仅有C和G。C距E为5。G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。	无	C, G	A, D, F, B, E
	顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E近期。故高亮表示G及对应边EG。	无	G	A, D, F, B, E, C
	如今，全部顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。	无	无	A, D, F, B, E, C, G

5.普利姆(Prim)算法适用于求解无向图中的最小生成树

选择一个节点开始，比如V1进入集合U，剩下的集合的V-U包括剩下的节点，然后寻找从集合U到集合V-U最近的路径。这里有三条路径分别是权重为6到V2，权重为5到V4以及权重为1到V3，显然到通过V3连接而集合U和集合V-U是最近的，选择V3进入集合U。同样继续选择到V-U的路径，此时有6条可选路径，分别是权为6到V2【从V1】，权为5到V4【从V1】，权为5到V2【从V3】，权为5到V4【从V3】，权为6到V5【从V3】，权为4到V6【从V3】。选择出从V3到V6的路径并将V6添加至集合U中。按照这种方法依次将V4，V2和V5添加到集合U直到U和全体节点结合V相等，或者说V-U集合为空时结束，这时选出的n-1条边即为最小生成树

6.简单证明prim算法

反证法：如果prim生成的不是最小生成树

1).设prim生成的树为G0

2).如果存在Gmin使得cost(Gmin)不属于G0

3).将增加G0中可得一个环。且不是该环的最长边(这是由于∈Gmin)

4).这与prim每次生成最短边矛盾

5).故如果不成立，命题得证.

7.算法代码实现(未检验)

#define MAX  100000
#define VNUM  10+1                                             //这里没有ID为0的点,so id号范围1~10

int edge[VNUM][VNUM]={/*输入的邻接矩阵*/};
int lowcost[VNUM]={0};                                         //记录Vnew中每一个点到V中邻接点的最短边
int addvnew[VNUM];                                             //标记某点是否增加Vnew
int adjecent[VNUM]={0};                                        //记录V中与Vnew最邻近的点


void prim(int start)
{
     int sumweight=0;
     int i,j,k=0;

     for(i=1;i

8.时间复杂度

这里记顶点数v，边数e

邻接矩阵:O(v2)                

邻接表:O(elog2v)

 

三：克鲁斯卡尔(Kruskal)算法

1.定义

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表

用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等

三种算法都是贪婪算法的应用

和Boruvka算法不同的地方是

Kruskal算法在图中存在同样权值的边时也有效

2.算法步骤

A:从某一顶点为起点

 

B:逐步找各个顶点最小权值的边来构成最小生成树

 

那我们也可以直接从边出发，寻找权值最小的边来构建最小生成树

不过在构建的过程中要考虑是否会形成环的情况

3.算法简单描写叙述

A:记Graph中有v个顶点

e个边

 

B:新建图Graphnew

Graphnew中拥有原图中同样的e个顶点，但没有边

 

C:将原图Graph中全部e个边按权值从小到大排序

 

D:循环：

             从权值最小的边開始遍历每条边 直至图Graph中全部的节点都在同一个连通分量中

                if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中

                                         增加这条边到图Graphnew中

4.图例描写叙述

首先第一步。我们有一张图Graph，有若干点和边 

 

将全部的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的根据。

这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完毕后。我们领先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图

在剩下的变中寻找。我们找到了CE。

这里边的权重也是5

依次类推我们找到了6,7,7，即DF。AB，BE。

以下继续选择， BC或者EF虽然如今长度为8的边是最小的未选择的边。可是如今他们已经连通了（对于BC能够通过CE,EB来连接，相似的EF能够通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不须要选择他们。

相似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。

最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。

最后成功的图

 

5.Kruskal算法构造最小生成树的过程图解 

Kruskal则是采取另一种思路，即从边入手

 

A:首先n个顶点分别视为n个连通分量

 

B:然后选择一条权重最小的边

如果边的两端分属于两个连通分量，就把这个边加入集合E

否则舍去这条边而选择下一条代价最小的边

 

C:依次类推，直到所有节点都在同一个连通分量上

6.简单证明Kruskal算法

对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对随意n阶图适用

 

A:归纳基础：

n=1。显然能够找到最小生成树

 

B:归纳过程：

如果Kruskal算法对n≤k阶图适用

那么，在k+1阶图G中

 

我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'

把原来接在u和v的边都接到v'上去

这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'能够用Kruskal算法得到

我们证明T'+{}是G的最小生成树。

用反证法，如果T'+{}不是最小生成树，最小生成树是T。即W(T)})。

显然T应该包括，否则，能够用增加到T中，形成一个环，删除环上原有的随意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{}。是G'的生成树。所以W(T-{})<=W(T')。也就是W(T)<=W(T')+W()=W(T'+{})，产生了矛盾。于是如果不成立。T'+{}是G的最小生成树。Kruskal算法对k+1阶图也适用。

由数学归纳法，Kruskal算法得证

 

7.算法代码实现(未检验)

typedef struct          
{        
    char vertex[VertexNum];                                //顶点表         
    int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看做边表         
    int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数         
}MGraph; 
 
typedef struct node  
{  
    int u;                                                 //边的起始顶点   
    int v;                                                 //边的终止顶点   
    int w;                                                 //边的权值   
}Edge; 

void kruskal(MGraph G)  
{  
    int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k;  
    int vset[VertexNum];                                    //辅助数组。判定两个顶点是否连通   
    int E[EdgeNum];                                         //存放全部的边   
    k=0;                                                    //E数组的下标从0開始   
    for (i=0;i %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w);       
            k++;  
            for (i=0;i

8.时间复杂度

时间复杂度：elog2e 

e为图中的边数

 

四：对比

假设网中有n个节点和e条边

 

普利姆算法的时间复杂度是O(n^2)

克鲁斯卡尔算法的时间复杂度是O(eloge)

 

可以看出前者与网中的边数无关

而后者相反

 

因此

普利姆算法适用于边稠密的网络

克鲁斯卡尔算法适用于求解边稀疏的网

 

参考地址：

1.【数据结构】最小生成树之普里姆(Prim)算法和克鲁斯卡尔(Kruskal)算法

https://www.jianshu.com/p/683ffde4f3a3

2.最小生成树-Prim算法和Kruskal算法

https://www.cnblogs.com/zhchoutai/p/8687614.html

3.Prim算法和Kruskal算法介绍

https://www.cnblogs.com/lbrs/p/11879357.html