二部图定义＋着色法判断二部图

一、二部图定义：

 

１、

二分图又称双分图、二部图、偶图，指顶点可以分成两个不相交的集　和　（　Ｕ、Ｖ皆为独立集，使得在同一个集内的顶点不相邻（没有共同边）的图

２、

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设 是一个无向图，如果顶点 V 可分割为两个互不相交的子集 ，并且图中的每条边   所关联的两个顶点  和  分别属于这两个不同的顶点集 (  in ,  in )，则称图  为一个二分图

简而言之，就是顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集，两个子集内的顶点不相邻。

３、二分图图片

 

４、性质：

最小边覆盖集的基数等于最大独立集的基数

最大独立集的基数与最大匹配的基数之和，等于顶点数目

连通的二部图：最小顶点覆盖集的基数等于最大匹配的基数

 

以上内容来源于维基百科

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二、判断是否为二部图　？

区分二分图，关键是看点集是否能分成两个独立的点集

二部图的充分必要条件是：

ｎ（ｎ>=2）阶无向图Ｇ是二部图当且仅当Ｇ中无奇圈

（二部图充分必要条件的证明）

 

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三、区分二部图－点着色方法

思路：－　ＢＦＳ

我们从图中任选一个顶点s，并把它着为红色，接着s的邻居必须着为蓝色，然后s邻居的邻居再次作为红色，这样一层一层着色，直到整个图被着色为止;

如果邻接的点有相同颜色的，则说明不是二分图（即某个点可能既被着成蓝色，也被着成红色，那么就不是一个二分图）

或者可以这样理解：

先找一个点为起点，然后把与它相连的点的颜色都变成与它相反的颜色,然后把这些点加入到队列中，如果这些点的颜色与父节点的不一样，就忽略，如果一样就证明了这个图不是二分图