二叉平衡树的算法复杂度笔记

AVL: http://www.oschina.net/code/snippet_176897_14149

二叉查找树:  http://www.oschina.net/code/snippet_176897_14148

红黑树：http://www.oschina.net/code/snippet_176897_14155

 

SBT:  http://www.nocow.cn/index.php/SBT

AVL:  http://www.nocow.cn/index.php/AVL%E6%A0%91

Treap: http://www.nocow.cn/index.php/Treap

 

https://github.com/PeterRK/DSGO/blob/master/book/index.md

 

 

插入，删除

设n为树内节点个数，h为树的高度，

树的各种操作的复杂度都依赖于树的高度，所有操作的复杂度均为O(h), h可能log(n)，也可能n

 

则普通的二叉查找树，操作复杂度均为log(n)，最坏情况可能O(n)，可以证明，随机构造的树的平均高度为log(n)，所以平均复杂度为log(n)。

 

AVL树保持每个结点的左子树与右子树的高度差至多为1，从而可以证明树的高度为O(log(n))。

Insert操作与delete操作的复杂度均为log(n)，旋转操作可能会达到log(n)次

 

红黑树赋予了树一定的性质，从而在保持这些性质的同时，能保证树的高度为log(n)。

性质中如：节点有红黑2色，其中路径中黑结点数目相同。红节点的2个子结点均为黑，根节点为黑，NIL节点为黑。

 

红黑树的insert操作，在最普通的insert()后，调用insert_fixup()来保持树的节点的性质。

Insert()的复杂度log(n),insert_fixup()复杂度也为log(n),另外insert_fixup()里可能有旋转操作，不过至多进行2次，每次复杂度均为O(1)

代码中一共3种情形，除了case1可能调用log(n)次，其它2种情况最多执行1次。

 

红黑树的delete操作，同样在正常的delete()操作后，调用delete_fixup()来保持节点的性质。

delete ()的复杂度log(n), delete_fixup()复杂度也为log(n),另外delete_fixup()里可能有旋转操作，不过至多进行3次，每次复杂度均为O(1)

代码一共4种情形，除了case2可能循环log(n)次，其它3种情况最多执行1次。

 

Treap树堆，保证是树的同时又是一个堆，可以证明树堆的期望复杂度为log(n), 因此所有操作的期望复杂度也为log(n)。