图之有向无环图，拓扑排序，关键路径

一.实际问题

上图可看出有向无环图（DAG）与一般图区别：有方向，共用子结构，无环。
有向无环图常用于解决工程活动问题：
　　判断工程是否能否顺利进行–拓扑排序
　　求工程完成所必须的最短时间–关键路径

二.拓扑排序

　　拓扑排序主要为后续求最短路径做准备，同时判断图是否有环。
　　从偏序得到拓扑有序的操作称为拓扑排序。
　　
　　在偏序中，有些成员无法比较，而全序中所有成员都可比较。如上图偏序中V2和V3无法比较大小。
拓扑排序方法：


观察算法，如果存在环的话，上述算法是无解的，因为对于一个环，始终有一个入度，算法因为顶点有一个入度，无法取出这个顶点。

三.关键路径

　　关键路径：从开始点到完成点的最长路径长度叫做关键路径
　　主要是为了求出整个工程需要的最短时间，因为我们需要在这个周期内所有的活动都能够完成，所以我们需要知道一条最长路径，时间足够完成所有活动，同时又不会浪费时间。
　　
　　假设从V1到V5，我们可以看到有两条路径，V1-V2-V5（6+1=7）和V1-V3-V5（4+1=5），只有选择V1-V2-V5为关键路径，V3这个活动才能在此期间同时完成。
　　算法基于首先求出拓扑排序：
　　

活动是边，事件是顶点

　　e（i）表示活动最早开始时间：上面红色方框中，关键路径为V1-V2-V5，V3只需要在关键路径时间内完成就不会耽误后续活动进展。因此V3的e（i）为4
　　L（i）表示活动最晚开始时间：计算最晚时间时需要从后往前算，当我们求出关键路径为V1-V2-V5总时间为7，而活动a6完成只需要1。7-1=6。因此V3的L（i）为6。
　　当e（i）=L（i）就说明这个活动在前一个活动结束后必须立即开始，才能使整个过程时间最短。也就是关键活动。
转化为公式就是：　　

　　0，1，2…..i事件的Ve（i）已经解出，在求解Ve（j），只需选择从i到j总时间最长路径。此处思想认为贪心算法，每次选择当前最优解。如求解V5：已求解出V1-V2（6）和V1-V3（4）最优解，在求解V5时，选择（6+1=7）和（4+1=5）中较大者，这样能够保证在此V3能够完成。
　　求解事件的VL（j）时从后往前推：注意其初始值为最后一个顶点，最后一个顶点的活动最晚开始时间就是其活动最早开始时间。比如考虑顶点V5，V7，V8，此时事件V7和V8的VL（j）已经求解出，求解V5只需要用事件V7和V8的VL（j）减去活动a7和a8活动持续事件，可得事件V5最晚发生事件。

注意任何一项活动的持续时间的改变都有可能影响关键路径。只有在不改变网的关键路径情况下，提高关键活动的速度才能缩短工期。如果关键路径改变了，那就得重新考虑。