暴力解题两道
求 n ! n! n! 的位数。 n n n 不大于 1e7。
解 1：
将 [ 1 , n ] [1, n] [1,n] 中的整数逐个相乘。每当中间结果大于10时，不断地将中间结果除以10并记下除以10的次数。保证中间结果小于10即可。
最蠢最暴力的办法。考虑到 n 最大为 1e7 ，应该用 _int64 来存储中间结果。时间复杂度为O(nlog n)，可能会超时。
解2：
log 10 n \log_{10}n log10n 就是 n 在十进制表示下的位数。求 log 10 ( n ! ) \log_{10}(n!) log10(n!) 即可。
有 log 10 ( n ! ) = ∑ i = 1 n log 10 i \log_{10}(n!)=\sum_{i=1}^{n}\log_{10}i log10(n!)=∑i=1nlog10i
比较巧妙的暴力方法。有一丶数学技巧。
解3：
使用 斯特林公式（Stirling’s approximation） 直接估算 n ! n! n!，然后计算 log 10 ( n ! ) \log_{10}(n!) log10(n!)
斯特林公式（Stirling’s approximation） 能给出 n ! n! n! 的估计值：
n ! ≈ 2 π n ( n e ) n n!\approx \sqrt{2\pi n}\left ( \frac{n}{e} \right )^{n} n!≈2πn(en)n
求区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 中的距离最远的一对素数和最近的一对素数。有多组输入数据。其中 a a a 大于0， b b b 小于 2 31 − 1 2^{31}-1 231−1，区间长度小于 1e6。
（POJ 2689）
找素数，最好的方法是筛法。
不大于正实数 x x x 的素数个数可以由素数定理来估计：
π ( x ) ≈ x ln x \pi \left ( x \right ) \approx \frac{x}{\ln x} π(x)≈lnxx
其中， π ( x ) \pi \left ( x \right ) π(x) 为不大于正实数 x x x 的素数个数。
由此可以估计出这个区间中素数个数不多于 1e5 个。可以把这个区间中的所有素数都找出来。
但如果区间的右端点大于 1e7，直接用筛法可能会超时。当右端点很大时，不妨先找出 [ 1 , 2 31 − 1 ] [1,\sqrt{2^{31}-1}] [1,231−1] 中的素数（不多于 6000 个）。 ( 2 31 − 1 , 2 31 − 1 ] \left (\sqrt{2^{31}-1},2^{31}-1\right ] (231−1,231−1] 中的合数，等价于 [ 1 , 2 31 − 1 ] [1,\sqrt{2^{31}-1}] [1,231−1] 中某些素数的整数倍。
程序可以这样设计：
如果右端点不大于 5e4 ，直接用筛法筛出指定区间的所有素数即可。
如果右端点大于 5e4 ，先用筛法筛出 [ 1 , 5 e 4 ] [1,5e4] [1,5e4] 中的所有素数。然后依据这些素数筛出指定区间中的所有素数。
其中，5e4 就是 2 31 − 1 \sqrt{2^{31}-1} 231−1 的估计值。
也可以先找出 [ 1 , b ] [1,\sqrt{b}] [1,b] 中的所有素数，然后再找 [ a , b ] [a,b] [a,b] 中的素数。