最少试几次才可以找出鸡蛋不会被摔碎的最高楼层？

考试周，楼sir出个小智力题写周记。

你拿两个完全相同的鸡蛋站在一有100层高的楼前，鸡蛋或许很结实，楼顶掉下也不碎。或许很易碎，一楼掉下就碎。最少试几次才可以找出鸡蛋不会被摔碎的最高楼层？（如果有三个鸡蛋呢？）

下面是我的思路和结果：

理论上说，我认为应该是没有所谓的最好的做法的。比如说这个鸡蛋在一楼就会破，从一楼一层层试上去的做法只要一次就行，绝对不会比其他任何复杂办法做出来的差。所以要稍微限制一下题目。我们可以认为结果出在每一层的概率是一样的，把这样规定下平均最少次数最少的作为最佳答案，这样的假设比较合理，但做起来却会挺复杂。简便起见，我这里认为最佳方案应该是在最坏的情况下试的次数最少的方案。

然后这就是一个简单的动态规划了。我们可以设矩阵x[i][j][k]表示：已知不会破的最高楼层大于等于i小于等于j，现在还有k个鸡蛋的情况下，最坏条件下至少还要测的次数。同时用suggest[i][j][k]记录这个条件下选择在哪一层楼扔这个蛋。X[0][100][2]和X[0][100][3]就是我们要求的结果。

当只有一个蛋的时候，我们只能从最低层一层层试上去。即x(i,j,1) = j – i，suggest(i,j,1) = i + 1。

当不只有一个蛋的话，假设我们有pegg个蛋。我们可以决定在t层扔（t大于i小于等于j）。t层扔下去的结果有两个：碎了，可以将范围缩小到[i,t-1]，还需要再试x(i,t-1,pegg-1)次；没碎，范围缩小到[t,j]，还要再试x(t,j,pegg)次。因为前面已经假设最坏情况，所以取较大的那个结果。对于所有能取的t，我们都求出最坏情况下的次数。然后就可以找到最少的次数以及对应的t，最少次数赋给x(i,j,pegg)，对应的t赋给suggest(i,j,pegg)。

最近在研究Matlab，所以就尝试用Matlab做了这道题。因为不太习惯也不太熟练，所以花了不少时间。但感觉还是挺有意思的，至少代码看上去比C要整齐得多。下次还有思考题没准就用Python做了。

最后的结果说2个蛋要14次，3个蛋要9次。稍微扩展一下，4个蛋要8次，再多的话不管多少蛋都是7次。你就是有100个蛋，用二分法那也要7次嘛！

考察一下获得这种最佳结果的策略：

确定结果的范围是从1到X（X=1,2,3,…）时，选择在F(X)处扔鸡蛋。

X	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
F(X)	0	2	2	3	2	3	4	2	3	4	5	2	3
X	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26
F(X)	4	5	6	2	3	4	5	6	7	2	3	4	5

看到了一个与在约瑟夫问题中类似的结果，周期性地出现，每次又会增加一个。可以用公式去描述这个结果，但我懒。

附上Matlab代码eeg.m：

height = 100;
eggs = 100;
%eggs = 3;

height = height + 1;

x = zeros(height,height,eggs);

suggest = x;
for i = 1:height
    for j = i+1:height
       x(i,j,1) = j - i;
       suggest(i,j,1) = i + 1;
    end
end

for pegg = 2:eggs
    for dis = 1:height
        for i = 1:height
            j = i+dis;
            if(j>height)
                break;
            end
            tt = inf(1,height);
            for t = i+1:j
                tt(t) = max(x(i,t-1,pegg-1),x(t,j,pegg));
            end
            [x(i,j,pegg),suggest(i,j,pegg)] = min(tt);
            x(i,j,pegg) = x(i,j,pegg) + 1;
        end
    end
end

disp(['Height: ',num2str(height-1)]);
disp(['Eggs  : ',num2str(eggs)]);
disp(['Times : ',num2str(x(1,height,eggs))]);