leetcode扔鸡蛋问题总结

扔鸡蛋问题是一道经典的面试题，他的简单一点的问法是给两个鸡蛋，一百层楼，找到最少的尝试次数，找到鸡蛋不会摔碎的临界楼层。

这个问题的解法有这么几种，二分法，平方根法，解方程法，具体的解释可以看一下这个博客，这里详细说一下最优解法解方程法，

假设问题存在最优解(扔鸡蛋过程),这个解的最坏情况尝试次数是x次,那么,我们第一次扔鸡蛋该选择哪一层?

恰恰是从第x层开始扔,选择更高一层或是更低一层都不合适

为什么第一次扔就要选择第x层呢?

这里的解释也是通过假设法,然后演绎,有些烧脑,小伙伴们坚持住:

假设第一次扔在第x+1层(比x大):

如果第一个鸡蛋碎了，那么第二个鸡蛋只能从第1层开始一层一层扔，一直扔到第x层。

这样一来，我们总共尝试了x+1次，和假设尝试x次相悖。由此可见，第一次扔的楼层必须小于x+1层。

假设第一次扔在第x-1层(比x小)：

如果第一个鸡蛋碎了，那么第二个鸡蛋只能从第1层开始一层一层扔，一直扔到第x-2层。

这样一来，我们总共尝试了x-2+1 = x-1次，虽然没有超出假设次数，但似乎有些过于保守。

假设第一次扔在第x层：

如果第一个鸡蛋碎了，那么第二个鸡蛋只能从第1层开始一层一层扔，一直扔到第x-1层。

这样一来，我们总共尝试了x-1+1 = x次，刚刚好没有超出假设次数。

因此，要想尽量楼层跨度大一些，又要保证不超过假设的尝试次数x，那么第一次扔鸡蛋的最优选择就是第x层。

归纳

如果第一次扔鸡蛋没有碎,我们的尝试消耗了一次,问题就转化成了两个鸡蛋在100-x层楼往下扔,要求尝试次数不得超过x-1次

所以第二次尝试的楼层跨度是x-1层,绝对楼层是x+(x-1)层

同理,如果鸡蛋还没有碎,第三次楼层跨度是x-2,第四次是x-3

根据总结,可以列出一个楼层数的方程式:

x + (x-1) + (x-2) + ... + 1 = 100

下面我们来解这个这个方程:

(x+1)*x/2 = 100

最终x向上取整,得到 x=14

因此，最优解在最坏情况的尝试次数是14次，第一次扔鸡蛋的楼层也是14层。

最后，让我们把第一个鸡蛋没碎的情况下，所尝试的楼层数完整列举出来：

14，27， 39， 50， 60， 69， 77， 84， 90， 95， 99， 100

 

这个问题进阶一点的问法就是leetcode上887题，

K 个鸡蛋，并可以使用一栋从 1 到 N  共有 N 层楼的建筑。
每个蛋的功能都是一样的，如果一个蛋碎了，你就不能再把它掉下去。
你知道存在楼层 F ，满足 0 <= F <= N 任何从高于 F 的楼层落下的鸡蛋都会碎，从 F 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。
每次移动，你可以取一个鸡蛋（如果你有完整的鸡蛋）并把它从任一楼层 X 扔下（满足 1 <= X <= N）。
你的目标是确切地知道 F 的值是多少。
无论 F 的初始值如何，你确定 F 的值的最小移动次数是多少？

这个题，鸡蛋不再是2个，楼层也不确定，一般使用动态规划来解决。

假设我们第一个鸡蛋扔出的位置在第X层（1<=X<=M），会出现两种情况：

1.第一个鸡蛋没碎

那么剩余的M-X层楼，剩余N个鸡蛋，可以转变为下面的函数：

F（M-X，N）+ 1，1<=X<=M

2.第一个鸡蛋碎了

那么只剩下从1层到X-1层楼需要尝试，剩余的鸡蛋数量是N-1，可以转变为下面的函数：

F（X-1，N-1） + 1，1<=X<=M

整体而言，我们要求出的是 N层楼 / K个鸡蛋 条件下，最大尝试次数最小的解，所以这个题目的状态转移方程式如下：

X可以为1......N,所以有M个Max（ F（N-X，K）+ 1， F（X-1，K-1） + 1）的值,最终F(N,K)是这M个值中的最小值,即最优解

F（N，K）= Min（Max（ F（N-X，K）+ 1， F（X-1，K-1） + 1）），1<=X<=N

代码：

class Solution {
    public int superEggDrop(int K, int N) {//k=eggs,N=floor
        int[][] dp = new int[K+1][N+1];
        for (int i=0;i<=N;i++) {
            //首先是eggs=0的情况
            dp[0][i] = 0;
            //然后是eggs=1的情况
            //eggs=1的时候，肯定是从第0层一直往上实验
            dp[1][i] = i;
        }
        //再考虑floors的边界
        for (int i=1;i<=K;i++) {
            //首先是floors=0的情况
            dp[i][0] = 0;
            //然后是floors=1的情况
            dp[i][1] = 1;
        }

        //状态转移方程dp[m][n] = min(max(dp[m-1][n-1]+1,dp[m][n-1]+1))
        for(int i=2;i

这个解法复杂度还是不满足要求的，将继续寻找更好的方法。