回溯-八皇后问题

八皇后问题是经典的回溯问题
常用的方法是递归, 也可以暴力枚举
知乎上有用一行代码写的

我刚接触算法时翻过紫书, 那时了解的知识太少了, 一次翻到八皇后问题, 觉得这好复杂, 怎么做得出来!
于是心里自我暗示地告诉自己这道题很难.

直到今天在计蒜客上看视频时, 提到了八皇后问题, 鉴于视频上内容较基础, 我想是不是八皇后问题其实并不难?

翻书之后, 以我现在的能力还是无法独立思考出, 故看书, 发现理解这个问题并不难, 就是一道常规的回溯问题. 不过对于蒟蒻的我来说, 回溯本身也不是那么简单的.

POJ的八皇后问题:

描述
在国际象棋棋盘上放置八个皇后，要求每两个皇后之间不能直接吃掉对方。
输入
无输入。
输出
按给定顺序和格式输出所有八皇后问题的解（见Sample Output）。
样例输入

样例输出

No. 1
1 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 1 0 
0 0 0 0 1 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 1 
0 1 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 1 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 1 0 0 
0 0 1 0 0 0 0 0 
No. 2
1 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 1 0 
0 0 0 1 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 1 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 1 
0 1 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 1 0 0 0 
0 0 1 0 0 0 0 0 
No. 3
1 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 1 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 1 
0 0 1 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 1 0 
0 0 0 1 0 0 0 0 
0 1 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 1 0 0 0 
No. 4
1 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 1 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 1 
0 0 0 0 0 1 0 0 
0 0 1 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 1 0 
0 1 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 1 0 0 0 0 
No. 5
0 0 0 0 0 1 0 0 
1 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 1 0 0 0 
0 1 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 1 
0 0 1 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 1 0 
0 0 0 1 0 0 0 0 
No. 6
0 0 0 1 0 0 0 0 
1 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 1 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 1 
0 1 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 1 0 
0 0 1 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 1 0 0 
No. 7
0 0 0 0 1 0 0 0 
1 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 1 
0 0 0 1 0 0 0 0 
0 1 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 1 0 
0 0 1 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 1 0 0 
No. 8
0 0 1 0 0 0 0 0 
1 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 1 0 
0 0 0 0 1 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 1 
0 1 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 1 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 1 0 0 
No. 9
0 0 0 0 1 0 0 0 
1 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 1 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 1 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 1 
0 1 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 1 0 
0 0 1 0 0 0 0 0 
...以下省略

提示
此题可使用函数递归调用的方法求解。

求解出92种放置情况并不难, 理解之后很轻松就可以写出答案, 这道题的坑点是, 做题者要观察输出规则. 对, 它并不是简单的按照回溯顺序输出的.

尝试几种可能之后还是错误, 遂看提示, 才知道输出的结果是行和列转置之后的.

遂修改代码, 把i, j互换, 成功AC.

下面是代码:

#include 
#define N 8

using namespace std;

bool is[N][N] = {}, row[N] = {}, col[N] = {};
bool Left[2*N - 1] = {}, Right[2*N - 1] = {};
int Time = 0;

void print()
{
    cout << "No. " << ++Time << endl; 
    for( int i = 0; i < N; ++i ) {
        for( int j = 0; j < N; ++j ) {
            cout << (is[j][i] ? 1 : 0) << ' ';
        }
        cout << endl;
    }
}

void search(int n)
{
    if( n == N ) {
        print();
    } else {
        for( int i = 0; i < N; ++i ) {
            if(row[n] || col[i] || Left[i + n] || Right[n - i + N - 1]) {
                continue;
            }
            row[n] = col[i] = Left[i + n] = Right[n - i + N -1] = is[n][i] = 1;
            search(n + 1);
            row[n] = col[i] = Left[i + n] = Right[n - i + N -1] = is[n][i] = 0;
        }
    }
}

int main()
{
    search(0);
}

值得一提的是, 之前我的Left 和Right数组是left 和right, 这样在DEV上编译错误, 说是有二义性. 百度之后想起right 和 left在DEV中可能被包含在了iostream中, 作为控制格式用.

提交之后, POJ上编译错误, 原因是time, 改为Time之后编译成功.

这道题带给我的是一种不正常的输出方式: 转置.
没错, 如果出题人要这样玩我, 我想下次可以解决.

下面是洛谷网的一道八皇后题目的代码:

#include 
//#define N 6
#define YES 1
#define NO 0

using namespace std;

int N, ans = 0, time = 3;
bool row[16] = {}, col[16] = {}, dpos[2*16 - 1] = {}, dneg[2*16 - 1] = {}, is[16][16] = {};

void print()
{
    if(time == 0) return;
    time--;
    for( int i = 0; i < N; ++i ) {
        for( int j = 0; j < N; ++j ) {
            if(is[i][j]) cout << j + 1 << ' ';
        }
    }
    cout << endl;
}

void search(int n)
{
    if( n == N ) {
        ans++;
        print();
        return;
    } else {
        for( int i = 0; i < N; ++i ) {
            if(row[n] || col[i] || dpos[n + i] || dneg[n - i + N - 1]) {
                continue;
            }
            row[n] = col[i] = dpos[n + i] = dneg[n - i + N - 1] = 1;
            is[n][i] = 1;
            search(n + 1);
            is[n][i] = 0;
            row[n] = col[i] = dpos[n + i] = dneg[n - i + N - 1] = 0;
        }
    }
}

int main()
{
    cin >> N;
    search(0);
    cout << ans << endl;
}

另一道POJ-2754八皇后题目

代码:

#include 
#define N 8

using namespace std;

bool is[N][N] = {}, row[N] = {}, col[N] = {};
bool Left[2*N - 1] = {}, Right[2*N - 1] = {};
int Time = 0;

void print(int k)
{
    ++Time;
    if( Time == k ) {
        for( int i = 0; i < N; ++i ) {
            for( int j = 0; j < N; ++j ) {
                if(is[i][j]) cout << j + 1;
            }
        }
        cout << endl;
    }
}

void search(int n, int k)
{
    if( n == N ) {
        print(k);
    } else {
        for( int i = 0; i < N; ++i ) {
            if(row[n] || col[i] || Left[i + n] || Right[n - i + N - 1]) {
                continue;
            }
            row[n] = col[i] = Left[i + n] = Right[n - i + N -1] = is[n][i] = 1;
            search(n + 1, k);
            row[n] = col[i] = Left[i + n] = Right[n - i + N -1] = is[n][i] = 0;
        }
    }
}

int main()
{
    int t, k;
    cin >> t;
    while( t-- ) {
        cin >> k;
        search(0, k);
        Time = 0;
        for( int i = 0; i < N; ++ i ) {
            for( int j = 0; j < N; ++j ) {
                is[i][j] = 0;
            }
            row[i] = col[i] = 0;
            Left[2*i] = 0;
            Left[2*i + 1] = 0;
            Right[2*i] = 0;
            Right[2*i + 1] = 0;
        }
    } 
}