双向迪杰斯特拉

1. 问题定义

已知：图G=(V, E)，其中V表示顶点集，E表示边集。s，t为图G中任意的两个顶点。

求：顶点s与t之间的最短路径。最短路径是指从s到t的所有路径中长度最小的那条路径。

2. 问题求解

2.1迪杰斯特拉

迪杰斯特拉按照离原点s的距离从近到远以此扩展的方式寻找最短路径。

2.2双向迪杰斯特拉

显然若s与t之间的最短路径长度为d，则迪杰斯特拉方法需要搜索一个半径为d的球。而双向迪杰斯特拉搜索以s与t为圆心的两个半径为d/2的球，当然d/2是理想状态，一般情况半径都会大于d/2。

下面以图2-1（论文1）为例说明双向迪杰斯特拉的过程。注意图中结点1、2与结点3构成的“三角形”并不满足三角不等式，原因是他们只是表示一种关系，比如说亲密程度；当然即使是路网也是可能的，因为现实生活中两点之间的道路不一定是直线，即图中结点1到结点3之间边的权重6不是两点之间的欧拉距离（直线距离）。

图2-1 查询图G=(V, E)，查询结点1与结点9之间的最短路径

第一步：因为到结点1与结点9已知的均为0（相等），因此我们扩展两个分别以结点1和结点9为半径的圆，如图2-2所示。其中左边的（1, 0）表示从节点1（源点s）出发到结点1的距离为0，同理（3, 6）表示结点1出发到结点3之间的距离为6。显然有结点1与结点3之间的最短距离不是6,而是4。相似有（8, 2）表示结点8到结点9的距离为2。

图2-2

第二步：第一步求出的路条路径中结点8到结点9和结点6到结点9有最小距离2。因此，我们扩展这两个顶点，扩展结果如图2-3所示。

图2-3

这时我们找到了路径两条路径，即1-3-6-9、1-4-6-9，且这两条路径的距离分别为10与12。但我们注意到从结点1出发最小值为3，从结点9出发最小值也为3，无法判断是否存在一条长度为6的最短路径，因此需要继续扩展。

第三步：现有路径中距离最小的为1-2和9-5，我们首先扩展1-2这条路径。扩展结果如图2-4所示。图中共有三条路径，分别为：1-2-5-8-9、1-2-3-6-9和1-4-6-9，且他们的长度分别为：10、8、12。此时求出的路径中最短距离为8，但距离结点1与结点9的最小距离分别为4和3。他们之和7仍小于8，因此需要继续扩展。

图2-4

第四步：现有路径中距离最小的为3，因此选择5号结点进行扩展。扩展结果如图2-5所示。图2-5中共有三条路径，分别为：1-2-5-8-9、1-2-3-6-9和1-4-6-9，且他们的长度分别为：10、8、12。所有路径中最小距离8。距离结点1与结点9的最小距离均为4，且之和等于8，因此最短路径求出。最短路径为1-2-3-6-9，距离为8。

图 2-5

3．总结

双向迪杰斯特拉最求单源点最短路径，即求一点顶点到多个顶点之间的最短距离时不如利用动态规划求解。

 

 

参考：

1 T.A.j.Nicholson. Finding the shortest route between two points in a network. The Computer Journal,9:275-280

2 Yufei Tao, Cheng Sheng and Jian Pei. On k-skip Shortest Paths. Sigmod’11, June 12-16, 2011