张量基本知识

为什么引入张量：与坐标系无关的数据分析方法。

张量分析的发展：1915年爱因斯坦在相对论中的应用而广泛受到关注。广义相对论就是完全用张量的语言描述的。

张量的最简单理解：数据的多路排列（两个下标以上的数据表现形式）。属于多重线性数据分析。

黎曼几何：黎曼把高斯的非欧几里得几何与凯莱等的n维线性空间理论综合起来，提出了n维晚去空间的概念，并按照微分几何学的思路，认为只要构造出空间的度量形式，就可以确定空间的相关量，如长度，角度，曲率等。很明显，这些都是不变量。另外，在张量矩阵中，张量的主值与坐标的选取无关，是基本不变量。常说的迹不变量是特征值的对称函数，包括特征值之和，特征值平方和，特征值立方和等。方程的根与坐标系无关。

张量之所以适用于图像处理中的曲线/曲面提取，与其发展中的一个重要环节密切相关：张量与坐标变换的无关性源于不变量理论的研究。建立张量分析的不变量理论不再是代数形式的不变量，而要求研究微分形式的不变量，因为张量分析解决的是曲线坐标系（坐标轴是弯曲的）中的微分运算问题，这是与矢量分析的最大区别。

张量分解：CP分解和Tucker 分解，实际上CP分解是Tucker 分解的一种特殊情况，核心张量为超对角张量（RXRXR）

要理解张量分解，首先理解SVD分解

张量分解常用概念：模式n矩阵积

高阶奇异值分解的交替最小二乘算法

高阶正交迭代算法      Highter-Order Orthogonal Iteration

推荐张贤达的《矩阵分析与应用》第2版，对张量进行了介绍，以上图片即来源于此.